`-5 mod 3 = 1`, como? o resto da divisão entre -5/3 não seria -2?

caso o resto seja negativo, você o soma com o divisor para ter o modulo positivo. exemplo: -15 mod 4 -15 quando dividido por 4 deixa resto -3, então eu somo o -3 com 4, que dá 1. Então: -15 mod 4 = 1

Conteúdo principal

O que é aritmética modular?

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Uma Introdução à Matemática Modular

Quando dividimos dois inteiros, temos uma equação na seguinte forma:

$\frac{A}{B} = Q resto R$ ‍

A

é o dividendo

B

é o divisor

Q

é o quociente

R

é o resto

Há vezes em que estamos interessados somente no valor do resto quando dividimos

A

por

B

.
Nesses casos, dispomos do operador resto (do inglês modulo, abreviado como mod).

Usando os mesmos

A

B

Q

R

acima, podemos escrever:

A mod B = R

Lemos isso como

A

módulo

B

é igual a

R

, sendo

R

o módulo.

Por exemplo:

$\begin{array}{rcl} \frac{13}{5} & = & 2 resto 3 \\ 13 mod 5 & = & 3 \end{array}$ ‍

Visualize o módulo com relógios

Veja no que resulta a divisão de números consecutivos por 3.

$\begin{array}{rcl} \frac{0}{3} & = & 0 resto 0 \\ \frac{1}{3} & = & 0 resto 1 \\ \frac{2}{3} & = & 0 resto 2 \\ \frac{3}{3} & = & 1 resto 0 \\ \frac{4}{3} & = & 1 resto 1 \\ \frac{5}{3} & = & 1 resto 2 \\ \frac{6}{3} & = & 2 resto 0 \end{array}$ ‍

O resto começa em 0 e incrementa de 1 em 1, até que seja um a menos do que o número pelo qual estamos dividindo. Depois disso, a sequência se repete.

Após perceber isso, podemos usar círculos para visualizar o operador módulo.

Nós escrevemos 0 no topo de um círculo e, continuando no sentido horário, escrevemos inteiros 1, 2 ... até o módulo que temos menos um.

Por exemplo, um relógio com o 12 substituído por 0 seria o círculo do módulo 12.

Para encontrar o resultado de

A mod B

, podemos seguir esses passos:

Construa este relógio para o tamanho $B$ ‍
Inicie no 0 e mova-se em volta do relógio por $A$ ‍ passos
Onde pararmos será nossa solução.

(Se o número é positivo, vamos no sentido horário, se é negativo, nós vamos no sentido anti-horário.)

Exemplos

$8 mod 4 = ?$ ‍

Para o módulo 4, fazemos um relógio com os números 0, 1, 2 e 3.
Iniciamos no 0 e passamos por 8 números no sentido horário 1, 2, 3, 0, 1, 2, 3, 0.

Acabamos no 0, então

8 mod 4 = 0

$7 mod 2 = ?$ ‍

Com módulo 2, fazemos um relógio com os números 0 e 1.
Iniciamos em 0 e passamos por 7 números no sentido horário 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1.

Acabamos no 1, então

7 mod 2 = 1

$- 5 mod 3 = ?$ ‍

Com módulo 3, fazemos um relógio com os números 0, 1 e 2.
Iniciamos em 0 e passamos por 5 números no sentido anti-horário (o 5 é negativo) da sequência 2, 1, 0, 2, 1.

Acabamos no 1, então

- 5 mod 3 = 1

Conclusão

Se temos

A mod B

e somarmos

A

a um múltiplo de $B$ ‍, nós iremos terminar no mesmo ponto, por exemplo,

$A mod B = (A + K \cdot B) mod B$ ‍ para qualquer inteiro $K$ ‍.

Por exemplo:

$\begin{array}{r} 3 mod 10 = 3 \\ 13 mod 10 = 3 \\ 23 mod 10 = 3 \\ 33 mod 10 = 3 \end{array}$ ‍

Notas para o leitor

mod em linguagens de programação e calculadoras

Muitas linguagens de programação e calculadoras têm um operador mod, tipicamente representado pelo símbolo %. Se você calcular o resultado de um número negativo, algumas linguagens darão resultados negativos.
Por exemplo,

-5 % 3 = -2.

Módulo de Congruência

Você pode ter visto uma expressão como esta:

$A \equiv B (mod C)$ ‍

Isso diz que

A

é congruente para

B

módulo

C

. Ela é similar às expressões que usamos aqui, mas não são as mesmas.

No próximo artigo iremos explicar o que ela significa e como ela se relaciona com a expressão acima.

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Luane Aquino
Publicado há há 7 anos. Link direto para a postagem “`-5 mod 3 = 1`, como? o ...” de Luane Aquino
-5 mod 3 = 1, como? o resto da divisão entre -5/3 não seria -2?
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(5 votos)
Resposta
- danielchaves001
  Publicado há há 5 anos. Link direto para a postagem “caso o resto seja negativ...” de danielchaves001
  caso o resto seja negativo, você o soma com o divisor para ter o modulo positivo.
  exemplo:
  -15 mod 4
  -15 quando dividido por 4 deixa resto -3, então eu somo o -3 com 4, que dá 1. Então:
  -15 mod 4 = 1
  Comentar sobre a postagem “caso o resto seja negativ...” de danielchaves001
  (12 votos)
srkakashi61
Publicado há há 5 anos. Link direto para a postagem “Assim eu não entendi como...” de srkakashi61
Assim eu não entendi como calcula essa conta A mod B=(A+K⋅B) mod BA, space, m, o, d, space, B, equals, left parenthesis, A, plus, K, dot, B, right parenthesis, space, m, o, d, space, B para qualquer inteiro \bf{K}K. como calcula a mod b(a+k+b) como calcula a k ?
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(2 votos)
Resposta
- Rodrigo Choinski
  Publicado há há um ano. Link direto para a postagem “Pelo que eu entendi, o K ...” de Rodrigo Choinski
  Pelo que eu entendi, o K é qualquer número natural, entende, vai dar sempre o mesmo módulo. Quer dizer que quando você adiciona um B a mais só dá uma volta e cai no mesmo lugar, duas vezes B, dá duas voltas a mais, não é pra calcular K, mas deve servir pra várias coisas. Igual no exemplo que eles deram
  3 mod 10 = 3 ou seja na fórmula seria A=3 B=10 k=0, então A+k*B mod B = A no caso 3+0*10 mod 10 = 3, veja os outros exemplos
  13 mod 10 = 3 aqui o k = 1
  A+K*B mod B = A >>> 3+1*10 mod 10 = 3 e assim por diante
  23 mod 10 = 3 o K é 2
  A+K*B mod B = A >>> 3+2*10 mod 10 = 3
  sacou?
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