Intuição sobre volume de cones

RKA2G - Olá, meu amigo ou minha amiga! Tudo bem com você? Seja muito bem-vindo ou bem-vinda a mais um vídeo da Khan Academy Brasil! Neste vídeo, vamos conversar sobre o volume de um cone. Para começar a nossa conversa, observe estas duas figuras tridimensionais que eu coloquei aqui. Eu tenho uma pirâmide aqui, à esquerda, e tenho um cone aqui, à direita. Nós sabemos algumas coisas sobre estas duas figuras. Em primeiro lugar, elas têm exatamente a mesma altura. Portanto, este comprimento, bem aqui, é "h" e este comprimento, indo no topo ao centro da base aqui, também é "h". Também sabemos que as áreas das bases são iguais. Por exemplo, nesta pirâmide, à esquerda, a área da base é igual a "x" vezes... Vamos supor que seja um quadrado, então, vai ser "x" vezes "x". A área aqui vai ser igual a x². Agora, nesta outra figura aqui, no cone, temos uma base com área igual a π vezes "r" ao quadrado. Eu falei com você o quê? Eu disse que as duas áreas são iguais, não é? Então, também sabemos que x² = πr². Agora, a minha pergunta para você é: estas duas figuras têm o mesmo volume, ou os volumes são diferentes? E, se eles forem diferentes, qual tem um volume maior? Pause este vídeo e tente pensar um pouco sobre isso. Tudo bem, vamos pensar nisso juntos agora. Dado que estamos falando sobre duas figuras que têm a mesma altura e pelo menos a mesma área da base, você pode estar pensando que talvez o princípio de Cavalieri possa ser útil neste caso. Só para relembrar um pouco: o princípio de Cavalieri nos diz que, quando você tiver duas figuras (e, como estamos pensando em três dimensões, é a versão tridimensional do princípio). Se você tem duas figuras que têm a mesma altura e, em qualquer ponto ao longo dessa altura, a área da seção transversal vai ser a mesma, então, as figuras vão ter o mesmo volume. Sabendo disso, o que nós precisamos descobrir aqui é se é verdade que, em qualquer ponto da altura, estas figuras vão ter a mesma área transversal. Para pensar sobre isso, vamos escolher um ponto arbitrário ao longo dessa altura. Só para simplificar, vamos escolher no meio da altura, embora a gente pudesse fazer essa análise em qualquer ponto ao longo da altura, ok? Então, vamos pegar o ponto na metade da altura aqui e na metade da altura aqui. Esta distância aqui é h/2, e esta distância aqui também é h/2, já que a altura total é "h". O que podemos fazer é construir algo que se pareça com triângulos semelhantes. E podemos até mesmo provar para nós mesmos que estes são triângulos semelhantes. Então, vamos construí-los bem aqui. Nós sabemos que eles são semelhantes porque esta linha vai ser paralela a esta linha e que esta linha é paralela a esta outra, que neste caso é o raio. E como sabemos disso? Estamos pegando áreas transversais que são paralelas à base, que são paralelas à superfície em que estas figuras estão apoiadas. Então, em qualquer caso, estas seções transversais vão ser paralelas. Estas linhas que se apoiam nestas seções transversais, ou que se apoiam nas bases, também serão paralelas. Como estas são linhas paralelas, este ângulo é congruente com este ângulo. E este ângulo é congruente com este ângulo. Porque estes são transversais, através de linhas paralelas, e estes são apenas ângulos correspondentes. E claro, eles compartilham este ângulo em comum. E aqui você vê, muito claramente, um ângulo reto. Este ângulo é congruente com aquele ângulo. Então, os dois triângulos compartilham isso. Este triângulo menor, em qualquer caso, é semelhante ao triângulo maior. E o que isso nos ajuda a perceber é que a proporção entre os lados correspondentes vai ser a mesma. Então, se este lado for h/2, e toda a altura é "h", então, isto vai ter metade de toda a altura. Logo, isto nos diz que este lado vai ser metade de "r". Então, aqui teremos r/2. E deste lado aqui, pelo mesmo argumento, vai ser x/2. Sabendo disso, qual é a área transversal aqui? Esta área vai ser (x/2)², que é igual a x²/4, que é 1/4 da área da base. E aqui? Este corte transversal aqui vai ter uma área igual a π vezes (r/2)², que é a mesma coisa que πr²/4. Ou poderíamos dizer que é 1/4πr², que é a mesma coisa que 1/4 da área da base. A área da base é πr² e aqui temos 1/4 vezes πr². Então, isto vai ser igual a 1/4 da área da base. Mas já falamos que estas áreas são iguais, não é? Então, acabamos de ver que a área da seção transversal, naquele ponto da altura de ambas as figuras, é a mesma. E você poderia fazer isso na posição 1/4 da altura, 3/4 da altura, etc. Você vai obter exatamente a mesma coisa. Você vai ter dois triângulos semelhantes e vai ver que eles terão as mesmas áreas, as mesmas áreas transversais naquele ponto da altura. E vimos, pelo princípio de Cavalieri aplicado a três dimensões, que estas duas figuras têm o mesmo volume. O que é interessante sobre isso é que nos permite obter uma fórmula para o volume de uma pirâmide. Aprendemos que o volume de uma pirâmide é igual a 1/3 vezes a área da base, vezes a altura. Além disso, também podemos dizer que este cone tem exatamente o mesmo volume. O volume dele também é igual a 1/3 vezes a área da base vezes a altura, Porque, em ambos os casos, a área da base é a mesma e a altura é a mesma. E sabemos que eles têm o mesmo volume. Enfim, meu amigo ou minha amiga, eu espero que você tenha compreendido tudo o que conversamos aqui e mais uma vez eu quero deixar para você um grande abraço e até a próxima!