Visão sobre equações exatas 1 (demonstração)

RKA14C Agora eu vou explicar para vocês o conceito de equações exatas. Vou mostrar que é somente um outro método para resolver equações diferenciais. Eu vou escrever aqui: "equações exatas". Equações exatas. Mas antes de mostrar o que é uma equação exata, eu vou colocar aqui alguns conceitos básicos. Quando eu provar as equações exatas, você vai ter uma ideia de onde vêm. Ou seja, elas não aparecem do nada. Então, vamos dizer que eu tenho uma função que eu vou chamar de "psi". A gente escreve Ψ, deste jeito aqui. Então, Ψ(x, y) é igual... Se eu for derivar esta função aqui, eu vou utilizar a regra da cadeia. Eu não sei se você está familiarizado com a regra da cadeia, mas eu vou colocar aqui sem demonstrá-la. Então, eu vou dizer que isto aqui é igual a: Ψ(x, y(x)), que é a mesma coisa que isto aqui. Então, vou derivar aqui embaixo. Eu vou derivar em relação a x. Então, derivando Ψ em relação a x: Ψ(x,y) vai ser igual à derivada da função Ψ em relação a x, mais a derivada parcial Ψ em relação a y, vezes dy / dx. Então, vamos dizer que a derivada parcial de y e dy representam, na verdade, coisas diferentes. Então, se elas de cancelam, na verdade, nós vamos ter outra derivada em relação a x. Se você somar isto aqui, vai ter a derivada total da função Ψ. Vamos dizer que eu tenho uma função aqui que eu vou chamar de Ψ. Essa função vai ser igual a um monte de termos, desta forma: f₁(x)... f₁(x) vezes g₁(y), e eu vou somar com um monte de termos, até chegar no enésimo termo, que eu vou chamar de fn(x) vezes gn(y). Eu escolhi esta função aqui para mostrar para vocês a ideia de que, quando eu derivar isso, eu vou ter algo parecido com isto aqui. Se eu derivar o Ψ... Derivando o Ψ em relação a x, eu vou ficar com: f'₁(x) vezes g₁(y), mais f₁(x) vezes g'₁(y). Eu só quero mostrar para vocês que eu coloquei só essa primeira parte aqui desses termos infinitos, porque eu utilizei a regra do produto de derivadas nestas duas funções aqui. Quando eu utilizá-la nestas duas funções, vou chegar nesta parte. Claro, tem mais infinitos termos que eu vou colocar. Mas eu só vou fazer isto aqui, para vocês verem melhor. Ops, esqueci do dy e do dx aqui. Pronto. Eu só quero mostrar para vocês o que eu vou marcar aqui. O que eu fiz, na verdade, foi derivar só esta parte aqui. Quando eu derivar o primeiro termo, vou ficar somente com isto aqui. Bem, mas existem mais infinitos termos aqui. Continuando nesse padrão, vou ficar com mais infinito, mais... Até chegar no enésimo termo. Então, eu vou ficar com: f'n(x) vezes gn(y), mais fn(x) vezes g'n(y), vezes dy / dx. Se eu arrumar tudo isso, vou ficar com: f'₁(x) vezes g₁(y), mais infinitos termos, mais f'n(x) vezes gn(y), mais... Basicamente, o que fiz aqui foi organizar os termos. Aqui eu coloquei todos temos que têm a derivada no f. Eu só vou mudar de cor para você ver melhor essa soma. Eu vou circular aqui para você ver melhor a outra soma que eu vou fazer, que vai ser esta aqui. Então, vai ser: mais f₁(x) vezes g'₁(y), mais um monte de termos, mais fn(x) vezes g'n(y), vezes dy / dx. Então, basicamente, o que eu fiz aqui foi organizar todos os termos que têm a derivada em x, coloquei aqui em amarelo. E coloquei todos os termos que têm derivada no y aqui. Então, eu quero que você perceba intuitivamente que esta parte aqui é a derivada parcial em relação a x. Que é isso que eu tinha falado para vocês. E esta parte aqui é a derivada parcial em y. E dy / dx. Ou seja, provamos intuitivamente, não sei se foi bem uma prova, que a derivada parcial em relação a x da função Ψ(x,y) é igual a isto aqui. Basicamente, dessa forma. Podemos concluir que isto aqui vai ser igual... Ou seja, isso é igual à derivada parcial de Ψ em relação a x, mais... Vou colocar em outra cor para ficar mais óbvio para você ver. Então, isto aqui é a nossa derivada... É a derivada de Ψ em relação a y. Por fim, vezes dy / dx. Enfim, pessoal, até o próximo vídeo!