Equações homogêneas de primeira ordem

RKA7MP - E aí, pessoal? Nesta aula, eu vou apresentar para vocês a ideia de equações diferenciais de primeira ordem homogênea. Eu vou escrever aqui: Equação Diferencial Homogênea. E vamos aprender depois que mesmo dentro das equações diferenciais homogêneas existem diferentes tipos e estas são chamadas de equações homogêneas lineares. Mas o que significa uma equação diferencial homogênea? Eu vou mostrar para vocês. Primeiro, eu vou colocar uma equação aqui, dy sobre dx igual a uma função f(x, y), e vamos aprender a fazer uma substituição trigonométrica. Eu preciso aprender a escrever a função f(x, y) de outra maneira, ou seja, eu tenho que escrever como uma fração de "y" sobre "x". Eu vou reescrever aqui ao lado, dy sobre dx igual a uma função, que eu vou chamar de "F" maiúsculo, de "y" sobre "x". Basicamente, para fazermos esta substituição, a gente vai precisar mexer algebricamente nesta função aqui do lado direito para colocar desta forma. E eu vou poder fazer a substituição de que eu estou falando. Mas ,antes de fazer a substituição, eu vou mexer algebricamente na função. Vamos dizer que eu tenha a função que vai ser dy sobre dx igual a "x" mais "y" sobre "x". E o que eu tenho que fazer é mexer algebricamente nesta função. Eu vou fazer aqui ao lado, vou escrever dy sobre dx igual, aqui eu vou fazer o seguinte, eu vou separar esta fração, eu vou colocar "x" sobre "x", mais "y" sobre "x". Então, eu vou colocar aqui ao lado "x" sobre "x", mais "y" sobre "x". Aqui, "x" sobre "x" vai dar 1, eu vou colocar aqui ao lado, que dy sobre dx é igual a 1 mais "y" sobre "x". Aqui está a grande sacada, porque eu disse para vocês que a gente tinha que mexer algebricamente nesta função para chegar nesta forma, e foi o que fizemos aqui até chegar aqui em "y" sobre "x", porque agora eu vou fazer uma substituição. A minha substituição vai ser, eu vou chamar de "v", "v" vai ser igual a "y" sobre "x". E multiplicando ambos os membros da equação por "x", chegamos a um valor de "y" igual a vx. E derivando isto aqui com a regra do produto de derivadas, ficamos com dy sobre dx igual a "v" mais "x", dv sobre dx. E o que eu quero que vocês percebam é que aqui temos dy sobre dx e aqui também. Então, isto aqui tem que ser igual a esta parte aqui. E eu só vou fazer a substituição "v" é igual a "y" sobre "x" aqui, e vamos ficar com "v" mais "x", dv sobre dx vai ser igual a 1 mais "v". Agora, podemos subtrair em ambos os membros da equação, e eu vou cortar dos dois lados, e eu vou dividir ambos os membros por "x", chegamos a dv sobre dx igual a 1 sobre "x". E multiplicando ambos os membros da equação por dx, chegamos com dv igual a 1 sobre "x", dx. Finalmente, chegamos a uma equação separável e eu vou integrar aqui e aqui. E integrando, eu vou integrar aqui e aqui também. E integrando, temos que a integral de dv vai ser o "v" e a integral de 1 sobre "x" vai ser ln do módulo de "x". Então, temos "v" igual a ln do módulo de "x" mais a constante "c". Outra coisa que eu quero que vocês percebam é que resolvemos isto para "v" e "x". Mas eu quero saber a resposta em função de "x" e "y". Então, eu vou colocar no lugar do "v" eu vou voltar com a substituição, "y" sobre "x", voltando para a variável, ficamos com "y" sobre 'x" igual a ln do módulo de "x", mais "c". E multiplicando ambos os membros da equação por "x", vamos ter "y" igual a "x", ln do módulo de "x", mais "c". E aplicando a distributiva aqui, ficamos com "y" igual a "x", ln do módulo de "x", mais cx. Então, esta é a solução. Finalmente, resolvemos a equação, e esta substituição é muito interessante para toda vez que você conseguir colocar a sua função desta forma, e você vai poder substituir a variável aqui, e depois é só retornar à variável e chegamos à solução. Porque o objetivo é transformar a equação em uma equação separável para poder integrar em ambos os lados. E, claro, se você também tiver condições iniciais, você ainda pode substituir aqui para achar a constante "c". Enfim, pessoal, até o próximo vídeo.