Modelos de crescimento: introdução

RKA3JV - Neste vídeo, nós vamos começar a falar sobre modelagem populacional, ou seja, uma modelagem de populações. E estes dois cavalheiros aqui, são os caras mais conhecidos quando pensamos sobre população e os limites de crescimento populacional. Este primeiro aqui é Thomas Malthus, ele era um clérigo britânico, escritor e estudioso no final dos anos 1700, no final do século 18 e início do século 19. Ele alterou bastante a noção que a população crescia indefinidamente e que seríamos capazes de nos alimentar através da tecnologia. Ou seja, o meio ambiente colocaria limites na quantidade ou onde uma população poderia crescer. Este outro aqui P. F Verhulst, eu não sei se estou acertando muito bem a pronúncia do nome dele, mas vamos considerar que seja isso. Ele era um matemático belga que leu os trabalhos de Malthus e tentou modelar o comportamento que Malthus falava. Ele até dizia o seguinte: quando não há limites do meio ambiente, talvez a população possa crescer exponencialmente. Mas quando ela se aproxima de um determinado limite, estabelecido pelo meio ambiente, teremos essencialmente uma assíntota sobre algum tipo de população. Malthus não pensava em uma assíntota certeira, ele achava que a população poderia até ultrapassar um limite, mas aí teríamos catástrofes. Desta forma, nós voltaríamos para abaixo do limite e nós meio que oscilaríamos em torno de um limite através de certas catástrofes. Podemos ver que Malthus era bem otimista, não é? Mas, vamos pensar um pouco a respeito de crescimento populacional através da Matemática. E para fazer isso, nós vamos utilizar as equações diferenciais. Estas equações sobre populações não são coisas muito complicadas de se pensar. Mas o que devemos sempre ter em mente é que nós precisamos pensar a respeito de populações através de equações diferenciais. Então, por isso, antes eu vou começar a definir algumas variáveis aqui. A primeira variável que eu vou definir é esta variável "N", que significa população. Ou seja, essa variável "N" indica para a gente o número de indivíduos em uma população. E este número de indivíduos em uma população, varia em função do tempo. Então, por este motivo, nós podemos ter uma função aqui que depende do tempo. Ou seja, uma função temporal. Então, a gente vai ter um N(t). E para gente determinar o número de população no decorrer do tempo, nós precisamos resolver esta função. Sabendo que essa população varia no decorrer do tempo, é interessante a gente estabelecer aqui a taxa de variação da população no decorrer do tempo. Ou seja, de dN/dt. dN/dt indica para a gente a taxa de variação do número de indivíduos nesta população em relação ao tempo. Mas será que esta taxa de variação da população se relaciona com quais outros termos? Uma coisa interessante a pensar a respeito dessa variação de população é que ela será proporcional ao número populacional. Se ela vai ser proporcional ao número de indivíduos em uma população, nós podemos colocar aqui uma taxa de variação. Uma taxa de variação que eu vou chamar de "r". E pelo fato de ser proporcional ao número de indivíduos em uma população, ou seja, o número populacional, nós podemos multiplicar esta taxa de variação com o número populacional, ou seja, com "N". Beleza! Aqui estabelecemos uma equação diferencial. O nosso objetivo aqui é determinar uma função, uma função temporal deste número populacional. E para fazer isso nós podemos resolver esta equação diferencial aqui. E ao olhar para esta equação, rapidamente, você percebe que não é uma equação muito difícil de resolver. E para resolver aqui, a gente pode pensar nisso aqui como uma fração. Então, a gente multiplica por "dt" em ambos os lados. Assim, a gente cancela este "dt" aqui deste lado e fica com "dt" aqui deste lado. E a gente vai dividir por "N" dos dois lados da equação. Assim, a gente vai ter 1/N aqui do lado esquerdo, e a gente cancela este "N" do lado direito. Então, o que nós vamos ter aqui vai ser 1/N vezes dN, Isso sendo igual a este fator de proporcionalidade "dt". Beleza! Então, a gente vem aqui e integra do lado esquerdo e integra do lado direito. Integrando 1/N dn aqui do lado esquerdo, qual vai ser a nossa resposta? Bem, a integral de 1/N dN é igual ao logaritmo natural do módulo de "N". Então, isso aqui vai ser igual ao logaritmo natural do módulo de "N". E isso vai ser igual, a gente pode colocar este "r" para fora da integral, porque o "r" é uma constante. E vamos multiplicar pela integral de dt. E a integral dt é igual a "t". E isso, claro, mais uma constante. Afinal de contas, estamos fazendo uma integral indefinida. Então, a gente precisa somar com uma constante aqui deste lado, beleza? Bem aqui, nós temos o ln(N) sendo igual a "r" vezes "t" mais "c". Mas, o nosso objetivo é encontrar este "N", não é? Como que a gente pode, então, resolver esta expressão de maneira a encontrar este "N"? Nós podemos aplicar o exponencial aqui do lado esquerdo e do lado direito. Porque, conforme sabemos, o exponencial do logaritmo natural do módulo de "N" vai ser igual ao módulo de "N". Então, a gente aplica o exponencial aqui do lado esquerdo e aplica o exponencial aqui do lado direito também. Então, nós vamos ter "e" elevado a "ln" do módulo de "N", sendo igual a "e" elevado a "r" vezes "t", mais "c". A gente só pode utilizar essa propriedade, porque aqui nós temos que "ln" do módulo de "N" vai ser igual a "r" vezes "t" mais "c". Se isso é igual, nós podemos dizer que "e" elevado a "ln" do módulo de "N" é igual a "e" elevado a rt + c. Ok, aqui já encontramos o módulo de "N". Mas a gente não quer encontrar o módulo de "N", nós queremos encontrar o "N". O que nós podemos fazer aqui? Bem, como nós nunca vamos ter um número populacional negativo, a gente pode até ter uma taxa negativa. Ou seja, ao invés de ter um crescimento, ter um decrescimento. Mas o número de indivíduos presente em uma população sempre vai ser positivo, certo? Sabendo disso, nós podemos assumir, então, a gente vai fazer o seguinte, assumindo que "N" sempre vai ser maior que zero, nós podemos tirar este "N" aqui do módulo e trabalhar apenas com "N", certo? Assumindo que N > 0, nós vamos ter que "N" vai ser igual a quê? Deste lado, nós temos "e" elevado a "r" vezes "t" mais "c". E nós podemos melhorar isso aqui um pouquinho, utilizando a propriedade do exponencial. Quando nós temos aqui uma soma no expoente, nós podemos repetir a base, elevar aqui ao primeiro expoente, ao primeiro termo. Ou seja, "r" vezes "t", e multiplicar com a mesma base, que é o "e" elevado ao segundo termo, que está na soma deste expoente. Ou seja, "c" aqui, neste caso. Então, nós vamos ter isso aqui sendo igual a "e" elevado a "r" vezes "t", vezes "e" elevado a "c". Porém, "c" é uma constante, não é? E "e" também é uma constante. Uma constante elevada a uma constante, vai nos fornecer uma outra constante. Então, isso aqui nós podemos chamar este "e" elevado a "c", de uma outra constante. Eu poderia até colocar aqui c₁ e c₂ , tudo bem? Mas vamos trabalhar apenas com este "c" aqui. Lembrando que esta constante é diferente desta outra constante. Mas, de qualquer forma, não deixa de ser uma constante. Então, este "N" vai ser igual a uma constante, vezes "e" elevado a "rt". Isso aqui vai ser igual a "c" vezes "e" elevado a "r" vezes "t". Então, aqui nós já temos a nossa função para "N". Só que este "N" é uma função que varia no decorrer do tempo, certo? Afinal de contas o "c" é uma constante e o "r" também. Então, a única variável aqui, então, por isso, nós podemos dizer que "N" que é o número de indivíduos em uma população, ou número populacional, vai ser uma função temporal. Então, podemos colocar aqui que este "N" que eu vou mudar de cor aqui, e vou colocar com esta cor, vai ser uma função que depende do tempo. Então, aqui nós já temos a nossa função de crescimento populacional. Ok, mas aqui nós temos uma constante. O que significa esta constante aqui? Conforme sabemos, em um instante de tempo igual a zero, nós vamos ter um número de população igual a zero, certo? Então, "N" em um tempo igual a zero, nós vamos ter um número populacional inicial. Ou seja, um N₀. No entanto, resolvendo esta expressão aqui, nós vamos ter "N" em um tempo igual a zero, vai ser igual a quanto? Vai ser "c" vezes "e" elevado a "r" vezes zero. Ou seja, "r" vezes zero é igual a zero. Todo o número elevado a zero é igual a 1. Então, nós vamos ter "c" vezes 1, que é igual ao próprio 1. Se em N₀ nós temos o número populacional inicial e aqui, resolvendo essa função temporal, nós chegamos à expressão que "N", em um tempo igual a zero é igual a "c", nós podemos dizer que este "c" vai ser igual ao número inicial de população. Então, nós podemos substituir este "c" por N₀. Assim, resolvendo esta função, nós chegamos ao resultado desta taxa de variação aqui, sendo igual a "N", ou seja, o número de indivíduos em uma população, ou o número populacional vai ser, "N" em função do tempo, sendo igual a "c", só que c é igual a N₀. Então, vamos colocar aqui N₀, que é o número de indivíduos, que é o número inicial de indivíduos em uma certa população, vezes "e" elevado a "r" vezes "t". Então, esta aqui é a nossa função, que expressa o número populacional no decorrer do tempo. Ou seja, o número de indivíduos que teremos em uma população no decorrer do tempo. No entanto, como podemos observar, esta aqui é uma equação exponencial. Então, se a gente fosse plotar o gráfico desta função aqui, nós teríamos algo parecido com isso aqui. Plotando aqui o eixo "y", em que o eixo "y" representa o número populacional. E aqui o eixo "x", em que o eixo "x" representa o tempo. A gente já vai começar em um tempo zero com o número inicial de indivíduos. Aí, a gente vai ter aqui o crescimento, desta forma. À medida que o tempo passa, o número populacional vai crescer infinitamente. Ou seja, nós não teremos um limite para o crescimento exponencial. Isso daqui, de fato, acontece com populações pequenas. Mas, conforme a gente observa populações maiores, não é isso que vai acontecer. Na verdade, a gente vai ter um crescimento, mais ou menos, parecido com isto aqui. A gente vem seguindo esta curva, mas quando chega em um determinado ponto, acontece isto aqui. Ou seja, vai ter uma tendência para uma certa assíntota. E estas daqui foram as ideias que Malthus falou para a gente. Claro, a gente pode ter uma pequena variação aqui, uma pequena oscilação. Mas, de qualquer forma, no geral, vai oscilar em torno desta assíntota. Então, como é que a gente pode expressar este comportamento populacional através de uma equação diferencial? No próximo vídeo, nós veremos que P. F Verhulst encontrou uma equação diferencial muito boa, com uma solução que modela e descreve bem melhor a realidade que Malthus acreditava ser real. Então, nos vemos no próximo vídeo!