Equações diferenciais lineares homogêneas de 2ª ordem 1

RKA8JV - Nós vamos resolver outro problema de equações diferenciais homogêneas de segunda ordem. A equação que eu tenho é: 4y" - 8y' + 3y = 0. Eu tenho condições iniciais, eu tenho minha primeira condição, que diz que y(0) = 2, y'(0) = 1/2. Neste vídeo, eu vou te mostrar o quão rapidamente você pode resolver esse tipo de problema de uma forma mais mecânica, quando você precisa fazer uma prova ou algo muito rápido. Se esta é a nossa equação diferencial original, a equação característica dela, que a gente já viu em outros vídeos, é: "4r² - 8r + 3 = 0". Bom, se você não se lembra disso, assista aos vídeos anteriores. Se você quiser resolver isso bem rápido, você substitui a segunda derivada com r², a primeira com "r", e a função com a constante. Esta é a nossa equação característica. Agora a gente pode resolver as raízes. A gente pode dizer então que a solução que a gente tem é "r = -b ±√b² - 4ac sobre 2a", nada mais do que a fórmula de Bhaskara. Se eu substituir isso, eu posso dizer, então, se eu substituo com os valores, que r = 8 ±√64, que é 8², menos 4 vezes 4 vezes 3 sobre 8, que é 2 vezes 4, então, sobre 8. Fazendo aqui embaixo, eu tenho que "r" vai ser 8 ± √64 - 48 dividido por 8. "r" então vai ser igual a 8 mais ou menos raiz, 64 menos 48 é 16, sobre 8. "r" então vai ser igual a 8 ± 4/8. E aqui a gente vai ter duas soluções, então "r" vai ser igual a 1± 1/2. Estes vão ser os meus valores de "r". Bom, como eu quero saber r₁ e r₂, vou chamar aqui de r', r' é minha primeira solução. Vai ser 1 + 1 + 1/2, eu tenho então r' como sendo 3/2 e r" vai ser igual a 1/2. Feito isso, lembrando de outros vídeos, a solução geral dessa equação diferencial, que nós já vimos, é "y"', que é igual a c₁e³/²ˣ + c₂e¹/²ˣ. Uma vez que você descobre as raízes de "r", você tem a sua solução geral, e agora a gente só precisa usar a nossa mesma condição inicial. Vamos fazer y(x) e y'(x). Primeiro, vou começar do final, vou fazer y'(x). Vamos lá, vou fazer uma outra cor. y'(x) vai ser igual a 3/2c₁e³/²ˣ + 1/2c₂e¹/²ˣ. O que acontece quando "y = 0"? A gente vai ter aqui que c₁e, a gente vai ter um coeficiente zero aqui, então, tudo que é elevado a zero é igual a 1. Então, a gente tem, c₁ + c₂. c₁ + c₂ vai ser 1 + 1, que vai ser igual a 2, porque aqui eu vou ter 1 novamente, certo? Agora vamos fazer a segunda equação, quando a gente substitui "x = 0" na derivada. Então a gente tem, vou fazer aqui em rosa. A gente tem 3/2 vezes c₁ mais 3/2 vezes c₂ igual a 3. Bom, vamos subtrair. Então a gente tem -3/2 + 1/2 igual, a gente tem então, 2/2, que é igual a 1. Então, aqui eu tenho 2/2, que é igual a 1. Perdão, isso aqui é -2 e aqui é -1. Então eu tenho -c₂. Substituindo na nossa equação de cima, como se eu estivesse fazendo um sisteminha. Eu tenho -c₂, que é igual a -5/2. c₂ então vai ser igual a 5/2. Eu tenho -1 - 1, a gente troca o sinal. Bom, com isso eu tenho c₂, certo? Agora eu tenho que ter o valor de c₁, então eu tenho c₁ + 5/2 = 2, certo? Então, c₁ é igual a, fazendo essa continha aqui, a gente tem, 2 é 4/2, então, 4/2 - 5/2, que é igual a -1/2. A gente pegou esse valor aqui de c₂ e substituiu na primeira, ok? Não se confundam. Acho que do jeito que eu falei ficou meio confuso, mas a gente pegou esse valor de c₂ e substituiu na primeira equação. Vou até marcar aqui, primeira equação. Bom vamos colocar c₁ e c₂ na nossa equação geral para a gente montar a solução particular. Quando a gente faz isso, eu tenho e "y", que é igual a -1/2 vezes "e" elevado a 3/2 de "x" mais 5/2 vezes "e" elevado a 1/2 de "x". Parece ser complicado resolver esse tipo de equação com "e", e quando a gente tem derivadas, essas coisas. Mas este problema, nada mais foi que resolver uma equação de segundo grau, que era a nossa equação característica. Se você tem dúvidas, assista aos vídeos anteriores. Mas isso não foi nada mais do que as suas aulas de Álgebra 1.