Demonstração: as altitudes dos triângulos são concorrentes (ortocentro)

RKA - O que quero fazer nesse vídeo é mostrar que, se começarmos com um triângulo qualquer, isso seria um triângulo qualquer com o qual estamos começando, que sempre podemos fazer esse triângulo ser central em relação a um triângulo maior. Quando dizemos triângulo central, queremos dizer que cada vértice deste triângulo será o ponto médio dos lados de um triângulo maior. Quis mostrar que pode sempre construir isso, se começar com esse triângulo. Você pode sempre deixar esse ser o triângulo central de um triângulo maior. Para fazermos isso, vamos desenhar uma reta que passa por esse ponto aqui, mas que é paralela a essa reta, aqui embaixo, essa reta e essa reta, aqui em cima, serão paralelas, simples assim. Imediatamente, podemos começar a dizer algumas coisas interessantes sobre os ângulos. Se tivermos uma transversal aqui, a gente pode ver esse lado como uma transversal dessas duas retas paralelas, ou dessa reta e desse segmento. Sabemos que os ângulos alternos internos são congruentes, então, aquele ângulo vai ser congruente àquele ângulo, e sabemos, também, que esse ângulo em azul será congruente àquele ângulo ali. Agora, vamos fazer isso para os outros dois lados. Vamos criar uma reta que seja paralela a esse lado do triângulo, mas que passa por esse ponto aqui, deixe eu desenhar da melhor maneira possível. Essas duas retas serão paralelas, e sempre pode construir uma reta que seja paralela a outras retas, e que passa por um ponto que não está sobre aquela reta. Novamente, podemos usar ângulos alternos internos. Sabemos que, se esse ângulo aqui, vamos apenas dizer que temos esse ângulo laranja, o seu ângulo alterno interno é esse ângulo aqui. Também temos ângulos correspondentes, esse ângulo azul corresponde a esse ângulo, bem aqui. Então, vai corresponder àquele ângulo ali. E, agora, vamos desenhar outra reta, que é paralela a essa reta, bem aqui, mas passa por esse vértice, vai para o vértice, que é o oposto àquela reta. Então, deixe eu só desenhar, é sempre possível construir essas retas paralelas, bem assim. Vamos ver o que acontece. De novo, essas duas retas são paralelas, então, você poderia considerar essa reta verde como uma transversal, e ela é transversal, esse ângulo correspondente é esse ângulo aqui. Se a gente vê essa reta verde como transversal dessas duas retas em rosa, esse ângulo corresponde a esse ângulo aqui. Se a gente vê essa reta amarela como transversal a essas duas retas em rosa, na verdade, vamos ver desse modo: veja a reta rosa como transversal dessas duas retas amarelas. Sabemos que esse ângulo corresponde a esse ângulo, e se você vir essa reta amarela como transversal dessas duas retas em rosa, esse ângulo vai corresponder a esse ângulo aqui. E, então, a última coisa que temos, precisamos pensar nisso, se pensarmos nas duas retas verdes paralelas, nas duas retas paralelas, olharmos para o fim e vermos esta reta amarela como uma transversal, esse ângulo correspondente, em laranja, está aqui. Isso corresponde àquele ângulo, porque essa reta amarela é uma transversal nessas duas retas verdes. O que acabei de mostrar, começando com esse triângulo interno bem aqui, é que, se eu construir essas retas paralelas dessa forma, aqui, agora, tenho quatro triângulos, todos similares uns aos outros. Sabemos que todos são similares porque têm exatamente os mesmos ângulos, precisa apenas de dois ângulos para provar a similaridade, mas todos os quatro triângulos têm exatamente três ângulos similares. Agora, outra coisa que podemos mostrar, é que eles são congruentes, então, todos os quatro são similares, e também sabemos, são congruentes. Por exemplo, esse lado em amarelo, é o lado nesse triângulo entre o lado laranja e o verde, é o lado entre o laranja e o verde nesse triângulo aqui. Com esses dois, temos um ângulo, um lado e um ângulo, critério de congruência "ângulo, lado, ângulo", esses dois serão congruentes um ao outro. Aqui, nesse triângulo interno, nosso triângulo original, o lado que está entre o lado laranja e o azul será congruente aos lados entre o laranja e o azul naquele triângulo. De novo, temos congruência pelo critério ângulo, lado, ângulo, isso é congruente a isso, que é congruente àquilo. Tudo isso será congruente, e pelo mesmo motivo, esse triângulo será congruente com esse triângulo de baixo. Temos um ângulo azul, lado roxo, ângulo verde, ângulo azul, lado roxo, ângulo verde, eles são congruentes um ao outro. Se todos esses triângulos são congruentes uns aos outros, os lados correspondentes são iguais. Se olhar para esse triângulo aqui, a gente sabe que o lado entre o ângulo azul e verde, será igual a esse ângulo bem aqui, desculpa, é igual a esse comprimento. Então, será igual a esse comprimento entre o azul e o verde. Temos esse comprimento entre o azul e o verde, a gente tem aquele comprimento entre o azul e o verde, temos aquele comprimento aqui. Imediatamente, vê que esse ponto, deixe eu nomeá-lo agora, talvez eu devesse tê-lo nomeado antes, se chamarmos aquele ponto de "A", veremos que "A" é o ponto médio do... chamamos esse ponto de "B", e esse ponto de "C", aqui, "A" é o ponto médio de BC. Então, já é o bastante, e fui capaz de construí-lo assim. Agora, vamos olhar para os outros lados, esse lado verde, em todos os triângulos, é o lado entre o ângulo azul e laranja, então, entre o ângulo azul e laranja, você tem o lado verde. De novo, esse comprimento será igual a esse comprimento, se chamarmos esse ponto aqui de "D", e talvez esse ponto aqui de "E", veremos que "D" é o ponto médio de BE. Finalmente, o lado amarelo está entre o verde e o laranja; entre o verde e o laranja, temos um lado amarelo, todos esses triângulos são congruentes, novamente. Deixe eu chamar esse de "F", e vemos que "F" é o ponto médio de EC. Fizemos o que queríamos, mostramos que, se a gente começar com um triângulo arbitrário, o triângulo ADF, podemos construir um triângulo BCE. Então, ADF é o triângulo medial de BCE, triângulo BCE. E tudo isso significa que os vértices de ADF se encaixam nos pontos médios de BCE. E aí, você pode dizer: "Ok, isso já é interessante por si só, mas, qual é o sentido de tudo isso?" O sentido de tudo isso é: eu queria usar esse fato de que, se me der qualquer triângulo, posso fazer o triângulo central de um maior para provar que as alturas desses triângulos são concorrentes. Para ver isso, deixe, em primeiro lugar, eu desenhar as alturas, uma altura do vértice "A" seria assim, começa com o vértice e vai para o lado oposto, é perpendicular ao lado oposto. Se eu desenhar uma altura a partir do vértice "D", ela se pareceria com isso. Se eu desenhar uma altura a partir do vértice "F", ela se parecia com isso. E o que fiz? Todo esse arranjo desse vídeo foi para mostrar, para provar que isso sempre será concorrente. E pode dizer: "espera aí, como sabemos que são concorrentes?" Bom, tudo o que temos que fazer é pensar. Como eles interagem com o triângulo maior? Como essas alturas, quais são essas alturas do triângulo maior? Bom, essa altura amarela do triângulo maior, lembre-se, essas duas retas amarelas, reta AD e reta CE, são paralelas, se isso é um ângulo de 90 graus, ele é interno, o seu ângulo interior alternado também será de 90 graus. Esse aqui é perpendicular a CE, e ela divide CE porque sabemos que ADE é o triângulo central. Esse é o ponto médio, então, essa bem aqui é a "mediatriz", essa é a mediatriz, divisora para o triângulo maior, para o triângulo BCE. Essa altura, para a menor, é uma mediatriz para a maior. Podemos fazer isso para todas elas. Se esse ângulo for de 90 graus, então esse ângulo aqui será de 90 graus, porque essa reta é paralela a essa, essa é transversal. Os ângulos alternos internos são iguais. Então, essa reta, essa altura do triângulo menor, ela se divide bem no ponto médio do triângulo maior nesse lado, e também é uma mediatriz. Portanto, é uma mediatriz do triângulo maior. Finalmente, a mesma coisa é verdadeira dessa altura aqui, ela divide esse lado, do triângulo maior, em um ângulo de 90 graus. Sabemos disso porque essas duas retas de cor lilás são a forma como construímos o triângulo maior, se elas forem paralelas. De novo, esta é uma mediatriz. Essa é a razão, se você me der qualquer triângulo. Posso pegar as suas alturas, e sei que elas vão se interceptar em um ponto, serão concorrentes porque, para qualquer triângulo, posso fazer um triângulo central de um maior e, então, a sua altura será a mediatriz para o triângulo maior. E já sabemos que as mediatrizes, para qualquer triângulo, são concorrentes, elas se interceptam em exatamente um ponto.