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Curso: Cálculo multivariável > Unidade 5

Lição 8: Teorema da divergência (artigos)

Teorema da divergência em 2D

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Isso é análogo ao teorema de Green, mas para divergência em vez de rotacionais.

Conhecimentos prévios

Não são completamente necessários, porém de grande ajuda para uma compreensão mais aprofundada.

Definição formal de divergência

O que estamos construindo

O teorema da divergência em 2D é para a divergência o que o teorema de Green é para o rotacional. Ele relaciona a divergência de um campo vetorial dentro de uma região com o fluxo desse campo vetorial através das fronteiras da região.
Configuração:
- $F (x, y)$ ‍ é um campo vetorial bidimensional.
  - $R$ ‍ é uma região no plano $x y$ ‍.
  - $C$ ‍ é a fronteira da região $R$ ‍.
  - $\hat{n}$ ‍ é a função que dá os vetores unitários voltados para fora normais a $C$ ‍.
O teorema da divergência em 2D diz que o fluxo de $F$ ‍ através da curva limite $C$ ‍ é igual à integral dupla de $div F$ ‍ sobre a toda a região de $R$ ‍.

\underset{Integral de fluxo}{\underset{⏟}{\int_{C} F \cdot \hat{n} d s}} = \iint_{R} div F d A

A intuição aqui é de que se $F$ ‍ representa um fluxo de fluído, a taxa total do fluxo para fora de $R$ ‍, medida pela integral de fluxo, é igual à soma de todos os pequenos pedaços do fluxo externo em cada ponto, medida pela divergência.
Frequentemente as funções componentes de $F (x, y)$ ‍ são dadas como $P (x, y)$ ‍ e $Q (x, y)$ ‍:
$F (x, y) = [\begin{matrix} P (x, y) \\ Q (x, y) \end{matrix}]$ ‍
Nesse caso, uma vez que você escrever as duas integrais em função de $P$ ‍ e $Q$ ‍, o teorema da divergência em 2D fica assim:
$\oint_{C} P d y - Q d x = \iint_{R} \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y}$ ‍
Escrito dessa forma, é mais fácil visualizar que o teorema da divergência em 2D está apenas dizendo secretamente a mesma coisa que o teorema de Green.

Intuição: conectando duas medidas de fluxo para fora

A visão global: fluxo

Aqui, estou supondo que você já aprendeu sobre fluxo bidimensional, e o que isso representa. A saber, ele calcula a taxa na qual um líquido fluindo passa através de uma curva, como

C

. Quando essa curva engloba uma região, como

R

, o fluxo é uma medida da taxa na qual o líquido está saindo dessa região.

Dado um campo vetorial

F (x, y)

, que representa o campo do vetor velocidade do fluído, o fluxo

F (x, y)

através de

C

é medido com a seguinte integral:

$\underset{Integral de fluxo}{\underset{⏟}{\int_{C} F \cdot \hat{n} d s}}$ ‍

Essa integral percorre cada ponto na fronteira

C

e pega o componente do vetor de

F

, que está na direção do vetor normal unitário voltado para fora

\hat{n}

. Quanto maior for esse valor, mais rápido o fluido está saindo de

R

naquele ponto. Quanto mais negativo for, mais fluido está entrando naquele ponto.

A visão local: divergência

Eu também estou supondo que você aprendeu sobre uma medida diferente do "fluxo para fora" em movimentos dos fluídos: divergência. A divergência de

F (x, y)

é uma função que diz quanto o fluído tende a divergir para longe de cada ponto

(x, y)

O teorema da divergência em 2D conecta essas duas ideias:

$\underset{Fluxo para fora total de R}{\underset{⏟}{\overset{Integral de fluxo}{\overset{⏞}{\int_{C} F \cdot \hat{n} d s}}}} = \underset{Soma de todos os pedaços do fluxo para fora}{\underset{⏟}{\iint_{R} div F d A}}$ ‍

Quer entender isso mais a fundo?

Esta intuição deve parecer muito semelhante à que está por trás do teorema de Green, no qual a rotação total do fluído em uma região é igual à soma de todos os pequenos pedaços de rotação representada por

rot 2d F

$\underset{Rotação total de fluido próximo a R}{\underset{⏟}{\oint_{C} F \cdot d r}} = \underset{Soma de todos os pedaços de rotação}{\underset{⏟}{\iint_{R} rot 2d F d A}}$ ‍

No entanto, nos teoremas de Green e da divergência em 2D, falar sobre adição de pequenos pedaços de rotação ou fluxo externo é muito vago. Embora cada um forneça uma boa intuição, eles não são exatamente matemática rigorosa, são?

No artigo sobre o teorema de Green, eu passei por uma linha de raciocínio mais precisa, na qual a integral dupla de rotação entra em ação. Isso envolveu dividir a região

R

, e a percepção de como certas integrais de linha se cancelaram com as fatias ao longo de

R

Uma linha de raciocínio quase idêntica pode ser usada para demonstrar o teorema da divergência em 2D. Um bom exercício para qualquer um que pretenda entender mais a fundo seria voltar e percorrer essa mesma linha de raciocínio, mas substituir a integral de linha

\oint_{C} F \cdot d r

, que mede fluxo no entorno de

R

, pela integral de fluxo

\oint_{C} F \cdot \hat{n} d s

, que mede o fluxo fora de

R

E se essa compreensão mais profunda é o que você procura, eu recomendaria também que você se preparasse com o conhecimento do artigo sobre definição formal de divergência.

Prova: integrais de fluxo + vetor normal unitário + teorema de Green

Esse exercício de compreensão mais profunda não é necessário para provar o teorema da divergência em duas dimensões. Na verdade, quando você começar a entender como cada integral é realmente calculada, você descobrirá que esse teorema está apenas dizendo a mesma coisa que o teorema de Green.

Comece escrevendo

F

em função das funções componentes

P (x, y)

Q (x, y)

$F (x, y) = [\begin{matrix} P (x, y) \\ Q (x, y) \end{matrix}]$ ‍

Aplicando a formula para um vetor normal unitário à integral de fluxo, conseguimos outra maneira de representar essa integral de fluxo.

$\int_{C} F \cdot \hat{n} d s = \int_{C} [\begin{matrix} P (x, y) \\ Q (x, y) \end{matrix}] \cdot \hat{n} d s$ ‍

Em seguida, vamos escrever o vetor normal unitário explicitamente.

Verificação de conceito: se pensarmos no vetor

[\begin{matrix} d x \\ d y \end{matrix}]

como a representação de um pequeno passo no sentido anti-horário e torno da curva

C

, com

d s = \sqrt{d x^{2} + d y^{2}}

sendo sua magnitude, qual das seguintes opções representa um vetor normal unitário voltado para fora?

Escolha 1 resposta:
(Escolha A)
$\frac{1}{d s} [\begin{matrix} d x \\ d y \end{matrix}]$ ‍
(Escolha B)
$\frac{1}{d s} [\begin{matrix} d y \\ - d x \end{matrix}]$ ‍
(Escolha C)
$\frac{1}{d s} [\begin{matrix} - d y \\ d x \end{matrix}]$ ‍

A segunda opção de resposta está correta:
$\frac{1}{d s} [\begin{matrix} d y \\ - d x \end{matrix}]$ ‍
Tanto a segunda quanto a terceira opções apresentam vetores normais unitários, mas somente a segunda é voltada para fora. Se alguma das explicações a seguir parecer confusa, considere reler o artigo sobre construção do vetor normal unitário a uma curva.
Ao construir um vetor normal unitário, você pensa em tirar o vetor tangente $[\begin{matrix} d x \\ d y \end{matrix}]$ ‍ e rotacioná-lo em $90^{\circ}$ ‍. Nesse caso, já que estamos pensando no vetor tangente como sendo no sentido anti-horário, e queremos um vetor normal unitário voltado para fora, precisamos rotacionar esse vetor no sentido horário.
Para rotacionar um vetor em $90^{\circ}$ ‍, você troca os dois componentes e torna um deles negativo. Pessoalmente, eu nunca me lembro qual deles eu devo tornar negativo para cada sentido de rotação, então eu apenas tento um e desenho seu gráfico. Por exemplo, suponha que você execute uma transformação como essa:
$[\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}] \to [\begin{matrix} - y \\ x \end{matrix}]$ ‍
Seu gráfico se parecerá com esse:
Então, evidentemente, isso resulta em uma rotação no sentido anti-horário. Já que precisamos rotacionar no outro sentido para conseguir nosso vetor normal unitário voltado para fora, nós invertemos o sinal da segunda coordenada:
$[\begin{matrix} d x \\ d y \end{matrix}] \to [\begin{matrix} d y \\ - d x \end{matrix}]$ ‍
Finamente, para transformar isso em um vetor unitário, divida-o por sua magnitude:
$\frac{1}{d s} [\begin{matrix} d y \\ - d x \end{matrix}]$ ‍

Inserindo isso em nossa integral de fluxo e simplificando, obtemos:

\begin{aligned} \int_{C} [\begin{array}{c} P (x, y) \\ Q (x, y) \end{array}] \cdot \hat{n} d s & = \int_{C} [\begin{array}{c} P (x, y) \\ Q (x, y) \end{array}] \cdot (\frac{1}{d s} [\begin{array}{c} d y \\ - d x \end{array}]) d s \\ = \int_{C} P d y - Q d x \end{aligned}

Escrito dessa forma, nós podemos aplicar diretamente o teorema de Green.

Verificação de conceito: qual das seguintes opções é o teorema de Green, em que

C

representa uma curva fechada que abrange a região

R

Escolha 1 resposta:
(Escolha A)
$\oint_{C} P d x + Q d y = \iint_{R} (\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}) d A$ ‍
(Escolha B)
$\oint_{C} P d x + Q d y = \iint_{R} (\frac{\partial P}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial x}) d A$ ‍

Verificação de conceito: o que você obtém quando aplica o teorema de Green à integral de fluxo

\int_{C} P d y - Q d x

Escolha 1 resposta:
(Escolha A)
$\oint_{C} P d y - Q d x = \iint_{R} (\frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y}) d A$ ‍
(Escolha B)
$\oint_{C} P d y - Q d x = \iint_{R} (\frac{\partial P}{\partial x} - \frac{\partial Q}{\partial y}) d A$ ‍

A primeira opção de resposta está correta:
$\oint_{C} P d y - Q d x = \iint_{R} (\frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y}) d A$ ‍
Isso pode ficar confuso, porque tanto essa expressão quanto o teorema de Green estão usando $P$ ‍'s e $Q$ ‍'s, mas suas funções tão trocadas. É assim que elas ficam alinhadas:
$\begin{aligned} \underset{Teorema de Green}{\underset{⏟}{\oint_{C} P d x + Q d y = \iint_{R} (\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}) d A}} \\ \underset{Substitua P por - Q, e Q por P}{\underset{⏟}{\oint_{C} - Q d x + P d y = \iint_{R} (\frac{\partial P}{\partial x} - \frac{\partial (- Q)}{\partial y}) d A}} \\ \underset{Equação rearrumada e a resposta para essa questão}{\underset{⏟}{\oint_{C} P d y - Q d x = \iint_{R} (\frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y}) d A}} \end{aligned}$ ‍

Observe que a expressão dentro da integral dupla da resposta para a última questão é de fato a divergência de

F

$div F = div [\begin{matrix} P (x, y) \\ Q (x, y) \end{matrix}] = \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y}$ ‍

Usar o teorema da divergência em 2D?

Quando se trata de transladar entre integrais de linha e integrais duplas, o teorema da divergência em 2D diz basicamente a mesma coisa que o teorema de Green. Então, qualquer um dos cálculos em um exemplo usando esse teorema seria indistinguível de um exemplo usando o teorema de Green (tais como os nesse artigo de exemplos do teorema de Green).

No entanto, a vantagem de aprender o teorema da divergência em 2D é dupla:

Benefício conceitual: é uma ótima maneira de aprofundar sua compreensão de fluxo, divergência e do teorema de Green.
Benefício estratégico: às vezes um exemplo em que o teorema de Green é usado se presta mais naturalmente a uma descrição com base em divergência. Por exemplo, se a integral de linha que você deseja calcular começa como uma integral de fluxo, em vez de expandir essa integral de linha para transformá-la em algo como $\int P d x + Q d y$ ‍ e aplicar o teorema de Green, você poderia reconhecer imediatamente que isso é o mesmo que integrar a divergência duplamente.

Resumo

O teorema da divergência em 2D refere-se ao fluxo bidimensional e à integral dupla de divergência através de uma região.
$\underset{Fluxo total para fora de R}{\underset{⏟}{\int_{C} F \cdot \hat{n} d s}} = \underset{Soma de todos os pedacinhos de fluxo para fora}{\underset{⏟}{\iint_{R} div F d A}}$ ‍
Frequentemente o campo vetorial $F (x, y)$ ‍ é expresso pelas componentes:
$F (x, y) = [\begin{matrix} P (x, y) \\ Q (x, y) \end{matrix}]$ ‍

Nesse caso, a aparência do teorema da divergência em 2D é assim:

\oint_{C} P d y - Q d x = \iint_{R} (\frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y}) d A

Nessa forma, é mais fácil visualizar que o teorema da divergência em 2D está apenas afirmando a mesma coisa que o teorema de Green.

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