Teorema de Green - exemplo 1

RKA3JV - Olá, pessoal! Tudo bem? Para esta aula, vamos usar o Teorema de Green para resolver uma integral curvilínea também conhecida como integral de linha. Porém, antes de ir para este exemplo, eu quero falar um pouco mais sobre o Teorema de Green. Nos últimos vídeos, trabalhamos com uma região que era desta forma. E a parte de dentro dela ia para a esquerda. E, por isso, os exemplos eram em sentido anti-horário. Também explicamos que o Teorema de Green só pode ser aplicado se nossa região for para a esquerda. E, se pegarmos a integral de linha deste caminho, a integral de linha fechada, nós podemos especificá-la desta forma junto com a curva "c" de "F" ponto "dr" que é igual à integral dupla sobre a região "R" da parcial de "Q" em relação a "x", menos a parcial de "P" em relação a "y", vezes "dA" que é a área "d". E um lembrete importante, estes "P" e "Q" estão vindo dos componentes de "F". "F" que, nesta situação, é escrito como F(x, y) = P(x, y), vezes o componente "i", mais Q(x, y) vezes o componente "j". E esta é uma situação onde o interior da região vai para a esquerda, mas não teria problema caso fosse um caminho para a direita. Já que colocar um sinal de menos faz com que o caminho vá para a esquerda. E isso só é possível porque, na situação de pegar integrais curvilíneas através de campos vetoriais, se invertermos a direção, conseguimos o negativo. Com estas informações em mente, agora vamos para o exemplo. Vamos dizer que eu tenho uma linha e uma fileira. Eu vou adicionar a integral curvilínea aqui. E vou dizer que ela está sobre uma curva. Mas antes de definir a curva, eu vou deixar aqui a integral x² - y² vezes dx + 2xy vezes dy. A curva é a fronteira da região, dado por todos os pontos "x" e "y" e nesta situação, "x" é maior ou igual a zero, menor ou igual a 1. Depois "y", que é maior ou igual a 2x² e menor ou igual a 2x. E ao desenhar a região agora, eu tenho aqui o meu eixo "y" em cima e o meu eixo "x" embaixo. O "x" vai de zero a 1. Temos ciência que o zero é nesta posição. Então, eu vou deixar neste lugar x = 1. E este é o valor de "x". Agora, para "y", o valor varia. Ele está cima de 2x² e é menor que 2x. E, normalmente, se você usar algum número grande, 2x² é maior. Mas se ele for menor que 1, ele vai ser menor que o da direita. Mas, pois, bem. Agora, o limite de cima é 2x, e a linha parecida com 2x é deste jeito. E a curva de baixo 2x² deste outro jeito. Com isso, conseguimos ter ciência que a região é esta entre as linhas. A curva é a fronteira desta região. E ela vai em direção anti-horária. E com a informação de direção, podemos representar a direção do nosso caminho no gráfico. E é bom fazer isso para ter uma referência visual. Mas o mais importante mesmo é que isso cumpre a condição da região de ir sempre para a esquerda. Por isso, podemos ir diretamente para o Teorema de Green sem a necessidade de colocar o sinal de menos. Por isso, agora vamos definir a nossa região. "y" varia de y = 2x² para y = 2x. E vamos integrar com "dy" primeiro. Depois, para "x", o limite de "x" vai de zero a 1. Por isso, eu coloco aqui uma integral indefinida. Depois disso tudo, nós podemos agora ir para o Teorema de Green. Esta parte aqui de cima, na esquerda superior, é o nosso "F". E nesta situação, fica como F(x, y) = (x² - y²)i + (2xy)j. Nós já mostramos isso em vários outros vídeos. Você pega o produto escalar disso com "dr" e, assim, você obtém esta parte de baixo. Então, este x² e y² são o nosso P(x, y). E esta expressão 2xy é o nosso Q(x, y). E, dentro disso, aplicamos o Teorema. Então, de acordo com o que escrevemos em cima, para a parcial de "Q" em relação a "x", pegamos a derivada da nossa expressão aqui embaixo e obtemos 2y. E, a partir dele, vamos subtrair a parcial de "P" em relação a "y". Pegamos a derivada da nossa expressão em relação a "y", que se torna zero e -2y. E isso se simplifica para 2y - (-2y). Ou seja, 2y + (+2y). Já que são dois sinais negativos. E isso nos dá 4y. Ou seja, a parcial de "Q" em relação a "y", que dá 2y, menos a parcial de "P" em relação a "y" que é - 2y, nos dá 4y. Agora, pegamos a primitiva de dentro em relação a "y", que nos dá 2y². Se pegamos a derivada disso em relação à parcial, em relação a "y", conseguimos 4y. E calculamos isso de y = 2x² para y = 2x. Ainda temos a integral pela parte de fora, onde "x" vai de zero para 1 e depois colocamos o "dx" aqui. Isto aqui vai ser igual a zero a 1. E primeiro o calculamos em 2x. Então, colocamos 2x², e 2x² é 4x². 2x² é 4x², e 4x² vezes 2 será 8x². Agora, colocamos este 2x² na parte de dentro. (2x²)² é 4x⁴. 4x⁴ vezes 2 é 8x⁴. Depois, o "dx". E isso é uma integral de uma dimensão que é igual à primitiva de 8x², que é a fração 8/3x³, menos a primitiva de 8x⁴ que é 8/5x⁵. E isso vamos calcular de zero a 1. Então, quando você coloca 1 aqui dentro, conseguimos 8/3 vezes 1³ que fica 8/3, menos 8/5 vezes 1⁵, que fica 8/5. Se colocássemos um zero ali dentro, conseguiríamos diversos outros zeros, mas eles não mudariam nada em nosso cálculo. Então, não precisamos fazer isso. Mas, pois bem. Agora, vamos subtrair estas duas frações. Primeiro, conseguimos o denominador comum que é 15. Depois, para 8/3, multiplicamos pelo número denominador 5, que dá 40, menos 8/5 multiplicado pelo denominador 3, que dá 24. E é isso! Com o Teorema de Green, conseguimos o resultado 16/15. Eu espero que você tenha obtido o mesmo resultado. E é isso, pessoal! Eu espero que tenham aprendido, e até a próxima!