Regiões tipo I em três dimensões

RKA2JV - Olá, meu amigo ou minha amiga! Tudo bem com você? Seja muito bem-vindo ou bem-vinda a mais um vídeo da Khan Academy Brasil. Neste vídeo, vamos começar a conversar sobre diferentes tipos de regiões em três dimensões. Isso será muito útil para avaliar integrais duplas e triplas, e também para realizar algumas demonstrações em cálculos com variáveis múltiplas. Neste vídeo, vamos avaliar uma região que eu vou chamar de região do tipo 1. Inicialmente, vamos dar uma definição formal para essa região. Eu espero que essa definição formal faça algum sentido para você. Mas depois, eu vou desenhar algumas regiões do tipo 1 para você conseguir visualizar melhor. E aí, também vou mostrar o que não seria uma região do tipo 1, principalmente porque, às vezes, isso é até mais importante. Bem, vou colocar aqui: uma região do tipo 1 é um conjunto. Não se esqueça que, quando colocamos estas chaves aqui, estamos representando um conjunto. Mas, continuando, essa região é o conjunto de todos os "x", "y" e "z", ou seja, um conjunto em três dimensões em que os "x" e "y" fazem parte de algum tipo de domínio. Este símbolo que parece um "E" é um símbolo que significa "pertence". Ou seja, isto está dizendo que os "x" e "y" pertencem a algum domínio. Sendo assim, F₁(x, y) é uma espécie de limite inferior de "z" e F₂ é um limite superior de "z". Por isso, podemos dizer que "z" é maior ou igual a F₁(x, y) e menor ou igual a F₂(x, y). Isto é um conjunto de "x", "y" e "z", e aqui estamos definindo esse conjunto. Observando isso, o que seria uma região do tipo 1 razoável? Bem, uma região do tipo 1 muito simples é uma esfera. Então, vou desenhar uma esfera aqui. Quando falamos de uma esfera, temos uma interseção no plano XY, que é essencialmente este domínio D. Vou fazer isso com uma cor azul. Isto aqui é o domínio D para uma esfera. Isto é uma esfera centrada em zero, mas você pode utilizar o mesmo argumento para uma esfera em qualquer lugar. Enfim, este é o meu domínio. Assim, F₁(x, y), que é um limite inferior de "z", será a metade inferior desta esfera. Bem, você não pode ver isso muito bem, mas seria estes contornos aqui, que estão na metade inferior da esfera. Eu posso até pintar esta parte para tentar visualizar isso melhor. A superfície inferior da nossa esfera será F₁(x, y). E aí, como você pode imaginar, F₂(x, y) será a parte superior da esfera, o hemisfério superior. Então, será parecido com algo deste tipo. Esta coisa que eu estou desenhando aqui é definitivamente uma região do tipo 1. Isto poderia ser do tipo 1, do tipo 2, ou uma região do tipo 3, mas é definitivamente uma região do tipo 1. Outro exemplo de uma região do tipo 1, e que pode ser ainda mais óbvio, é um cilindro. Para representá-lo eu vou desenhar aqui os eixos novamente. Uma coisa que eu quero deixar claro é que o nosso domínio no plano XY não tem que estar necessariamente dentro desta região. Sabendo disso, vamos imaginar que o cilindro está acima desta região, acima do plano XY. Então, este aqui é o limite inferior do cilindro. Ah, ele também não precisa necessariamente estar centrado em volta do eixo Z, mas eu vou fazer assim para este vídeo. Então, esta é a superfície inferior de nosso cilindro e esta é a superfície superior dele. Claro, estas superfícies não precisam ser planas. Elas poderiam ser curvas de alguma forma. Mas enfim, neste cilindro aqui o nosso domínio será todos os "x" e "y" que podem ser assumidos. Então, nosso domínio será esta região bem aqui no plano XY. Assim, para cada um destes pares (x, y), F₁(x, y), teremos a definição do limite inferior de nossa região. Sendo assim, nosso F₁ será isto aqui. Ou seja, se você pegar cada um desses "x" e "y" neste domínio D e calcular F₁(x, y), você vai encontrar os pontos nesta região e obter esta superfície. Aí, podemos fazer a mesma coisa com F₂(x, y). Qualquer um destes pontos (x, y) em nosso domínio será utilizado para calcular F₂. Teremos os pontos desta superfície aqui. Sendo assim, o que eu estou dizendo é que "z" vai ter todos os valores entre as duas superfícies. Ou seja, teremos aqui um sólido, e todas as regiões desse sólido vão ser formadas pegando qualquer valor a fim de encontrar um "z" entre esta superfície e esta outra superfície. É importante deixar claro que os valores vão preencher todo o volume, de forma que encontraremos uma região sólida. Ok, agora que vimos dois exemplos de região do tipo 1, você deve estar se perguntando: o que não é uma região do tipo 1? Bem, vamos pensar um pouco sobre isso. Mas, basicamente, é qualquer coisa que não possa ser definida desta forma aqui em cima. Vamos desenhar um exemplo aqui. Imagine que a gente tenha uma forma que faça algo estranho. Por exemplo, podemos ter um haltere aqui. Eu estou tentando desenhar da melhor forma possível, mas eu sei que não está perfeito. Independentemente disso, o ponto principal aqui e que você precisa saber é o motivo disso não poder ser definido desta forma aqui em cima. É algo bastante óbvio ao olhar para a seção que cruza este haltere. Afinal, não podemos definir esta forma apenas através de duas funções em que uma é o limite superior e a outra é o limite inferior em termos de "z". Então, mesmo que você tenha o domínio sendo valores de "x" e "y", Não teremos apenas duas funções de "x" e "y" formando os limites de "z". Inclusive, vou tentar desenhar isso aqui para a gente visualizar um pouco melhor. A gente tem valores de "x" e "y". E tem um haltere, certo? Para algo como um haltere, talvez o meu domínio esteja aqui. Estes são todos os valores de "x" e "y" que podemos pegar. Mas, para ter uma forma de haltere, para qualquer "x" e "y", "z" não vai pegar todos os valores de "x" e "y" entre as duas extremidades. Observe que este é o nosso haltere, talvez centrado no eixo Z. Este é o meio do nosso haltere. Note que, para qualquer (x, y) dado, se a gente tentar fazer com que isto seja uma região do tipo 1, esta aqui seria a superfície superior e aqui embaixo seria a superfície inferior. Mas, repare que "z" não pode pegar todos os valores de "x" e "y" entre as duas superfícies. A gente teria que quebrar isto aqui no meio, em duas regiões separadas. Teríamos aqui uma região inferior e, aqui, uma região superior. Esta forma de haltere não é uma região do tipo 1, porém, podemos quebrá-la em duas formas que são regiões do tipo 1. Tem outra maneira de pensar sobre isso, e talvez seja até mais fácil pensar desse jeito. Que tal se a gente olhar para isso nesta região? Ou seja, que tal a gente pensar no que acontece no plano ZY? Vamos colocar aqui o eixo Z e aqui o eixo Y. Vamos desenhar a forma do nosso haltere aqui. Se você pegar um dado "x", quem sabe com "x" sendo igual a zero, e olhar aqui no eixo Y, repare que o "z" aqui em cima não pode ser nenhuma função somente de "y". Nesta parte superior, há duas possibilidades de valores de "z" que precisamos ter para um dado "y". O mesmo aqui embaixo: dois valores de "z" possíveis para um dado "y". Repare que, ao observar isso, não podemos definir esta forma em termos simples, de somente uma função de limite inferior e uma função de limite superior. Bem, eu espero que você tenha compreendido melhor desse jeito e tenha compreendido tudo o que a gente conversou aqui. E, mais uma vez, eu quero deixar para você um grande abraço, e falar que te encontro na próxima!