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Curso: Cálculo multivariável > Unidade 4

Lição 2: Integrais de linha para funções escalares (artigos)

Gráficos do comprimento de arco de uma função, introdução

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O comprimento de uma curva, chamado de "comprimento de arco", pode ser calculado usando uma integral.

Conhecimentos prévios

Integrais ordinárias

O que é o comprimento do arco?

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Normalmente, medimos comprimento com uma linha reta, mas curvas também têm comprimento. Um exemplo conhecido é a circunferência de um círculo, que tem o comprimento de

2 π r

para o raio

r

. Em geral, o comprimento de uma curva é chamado de comprimento do arco. Mas como você encontra o comprimento do arco de uma curva arbitrária? Vamos descobrir.

O que estamos construindo

Você pode encontrar o comprimento do arco de uma curva com uma integral mais ou menos assim:
$\int \sqrt{(d x)^{2} + (d y)^{2}}$ ‍

Os limites dessa integral dependem de como você define a curva.

Se a curva é o gráfico de uma função $y = f (x)$ ‍, substitua o termo $d y$ ‍ da integral por $f^{'} (x) d x$ ‍ e, em seguida, coloque $d x$ ‍ em evidência.

Aquecimento: aproximando o comprimento do arco

Vamos dar uma olhada na parábola definida pela seguinte equação:

$y = f (x) = x^{2}$ ‍

Considere a porção da curva entre

x = - 2

x = 2

Pergunta-chave: qual é o comprimento do arco dessa curva?

Apenas para esclarecer a pergunta, imagine que a curva é um pedaço de corda. Você pode esticar essa corda e medi-la com uma régua.

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Se tivesse que adivinhar, você poderia começar fazendo a aproximação dessa curva a algumas retas. Confira como isso poderia se parecer:

Uma reta de $(- 2, 4)$ ‍ a $(- 1, 1)$ ‍
Uma reta de $(- 1, 1)$ ‍ a $(0, 0)$ ‍
Uma reta de $(0, 0)$ ‍ a $(1, 1)$ ‍
Uma reta de $(1, 1)$ ‍ a $(2, 4)$ ‍

Seria tedioso, mas você poderia calcular o comprimento de cada segmento de reta usando o teorema de Pitágoras e, em seguida, somá-los.

Verificação de conceito: qual é o comprimento da reta que vai de

(- 2, 4)

(- 1, 1)

Dê a resposta de forma exata, com uma raiz quadrada:

Para uma estimativa ainda mais precisa, você poderia fazer uma aproximação da curva a muitas retas pequenas.

Calcular todos esses comprimentos e somá-los seria extremamente cansativo, mas vamos dar um enfoque para ver como isso realmente se configura. Vamos ampliar uma das pequenas retas.

Primeiramente, observe a variação no valor de

x

do início ao fim da reta. Vamos chamá-la de

Δ x

. Da mesma forma, vamos chamar a variação no valor

y

Δ y

. Então, usando o teorema de Pitágoras, podemos escrever o comprimento da reta desta maneira:

$\sqrt{(Δ x)^{2} + (Δ y)^{2}}$ ‍

Nossa aproximação do comprimento da curva será, então, a soma dos comprimentos de todas essas pequenas retas. Ao expressar uma ideia como essa em símbolos, é normal que os escritores sejam um pouco desleixados com a notação e escrevam algo mais ou menos assim:

$\sum_{todas as pequenas retas} \sqrt{(Δ x)^{2} + (Δ y)^{2}}$ ‍

Você pode estar acostumado a ler somatórios assim:

$\begin{array}{r} \sum_{n = 1}^{100} n^{2} \end{array}$ ‍

A variável $n$ ‍ é conhecida como índice do somatório.
Esse índice tem um intervalo definido, neste caso, de $1$ ‍ até $100$ ‍.
A parte dentro da soma, neste caso, $n^{2}$ ‍, é chamada de parcela, e é escrita em função de $n$ ‍.

Em comparação, o somatório que eu escrevi para aproximar o comprimento da parábola não é, de jeito nenhum, rigoroso.

$\begin{array}{r} \sum_{todas as pequenas retas} \sqrt{(Δ x)^{2} + (Δ y)^{2}} \end{array}$ ‍

Ele não tem índice do somatório,
Não tem intervalo definido,
A parcela certamente não está escrita em função de um índice do somatório (uma vez que não existe um).

Por preguiça, sobrou para você, inteligente leitor humano, entender isso em contexto. Sendo mais específico, no contexto de nossa discussão, foram usadas várias retas pequenas para aproximar a parábola, por isso coloquei as palavras "todas as pequenas retas" sob o

Σ

. Também se deve entender que o valor da parcela

\sqrt{(Δ x)^{2} + (Δ y)^{2}}

depende de qual pequena reta em específico estamos considerando. Além disso, as expressões

Δ x

Δ y

não são fornecidas por fórmulas, mas foram definidas em palavras com base nos parágrafos anteriores.

É importante ser capaz de ler uma notação livre como essa e entender o que ela significa. Ao longo do cálculo com múltiplas variáveis, algo muito semelhante acontece com a forma como as integrais são escritas, na qual os termos e os limites referem-se ao contexto de uma discussão. Na verdade, você está prestes a ver um desses exemplos na próxima seção.

Escritores usam notações livres como essa quando o principal objetivo é transmitir um conceito mais geral, e não um cálculo específico. No entanto, quando chega a hora de fazer um cálculo, esse tipo de notação passa a ser definida com rigor.

Trazendo para os termos das integrais

Hmm, vejamos... estamos fazendo a aproximação de uma curva a várias pequenas partes, e então somando um número muito grande de coisas bem pequenas. Com partes menores e uma soma maior, teremos uma melhor aproximação. Isso lhe parece familiar?

Problemas como esse são exatamente o porquê das integrais terem sido criadas.

A maioria das pessoas, primeiro aprende sobre integração em um contexto de cálculo de uma área sob uma curva. Você se imagina fazendo a aproximação dessa área com um monte de retângulos bem pequenos. A largura de cada um é considerada como "

d x

", alguma pequena variação no valor de

x

. A altura de um retângulo em um dado valor de

x

f (x)

. Portanto, a área de cada retângulo é

$\overset{altura}{\overset{⏞}{f (x)}} \underset{largura}{\underset{⏟}{d x}}$ ‍

A área completa sob a curva é então expressa com uma integral:

$\int_{a}^{b} f (x) d x$ ‍

Essa integral é um mecanismo poderoso, como um

Σ

com esteroides. Ele não simplesmente soma os valores de

f (x) d x

para um determinado valor bem pequeno de

d x

: ele considera o valor limitante de tal somatório conforme a pequena largura de

d x

tende a

0

. Em outras palavras, conforme a aproximação usando retângulos se torna cada vez mais próxima da área real sob a curva.

Mas esse poderoso mecanismo pode ser usado em diversos contextos não relacionados à área sob uma curva. Toda vez que tiver a sensação de que precisa somar um grande número de coisas muito pequenas, a integral aparecerá para simultaneamente deixar as coisas menos tediosas e mais precisas.

Por exemplo, temos essa sensação ao aproximarmos o comprimento do arco com o somatório em notação livre:

$\sum_{todas as pequenas retas} \sqrt{(Δ x)^{2} + (Δ y)^{2}}$ ‍

Então, transformamo-no em uma integral:

$\begin{array}{r} \int \sqrt{(d x)^{2} + (d y)^{2}} \end{array}$ ‍.

Uma coisa que esta notação não expressa bem é que

d y

, a variação da altura por meio de uma de nossas pequenas retas de aproximação, é dependente de

d x

, a componente horizontal dessa reta. Especificamente, uma vez que a curva é definida pela relação

y = x^{2}

, podemos calcular a derivada de cada lado para ver como

d y

depende de

d x

$\begin{aligned} y & = x^{2} \\ d (y) & = d (x^{2}) \\ d y & = 2 x d x \end{aligned}$ ‍

Quando inserimos isso em nossa integral, ela se revela um pouco mais familiar.

$\begin{aligned} \int \sqrt{(d x)^{2} + (d y)^{2}} & = \int \sqrt{(d x)^{2} + (2 x d x)^{2}} \\ = \int \sqrt{(1 + (2 x)^{2}) (d x)^{2}} \\ = \int \sqrt{1 + 4 x^{2}} d x \end{aligned}$ ‍

Propositadamente, eu venho sendo preguiçoso quando o assunto é colocar limites nesta integral, mas agora que tudo dentro da integral está em função de

x

, sem nenhum

d y

para bagunçá-la, faz sentido definir os limites de integração em função do valor de

x

, que, neste caso, é de

- 2

2

$\begin{array}{r} \int_{- 2}^{2} \sqrt{1 + 4 x^{2}} d x \end{array}$ ‍

Isso se parece com algo que podemos calcular. Na verdade, neste caso, acaba sendo uma integral bem complicada, mas, nesta nossa era, podemos simplesmente calcular as integrais em um computador se precisarmos. O ponto central aqui é que a ideia de aproximar o comprimento de nossa curva com pequenas linhas, que a princípio foi escrito em notação livre, agora se tornou uma integral concreta e calculável.

Por agora, em vez de nos prendermos aos detalhes desta integral (há muitos deles por vir no próximo artigo), eu quero destacar alguns pontos deste exemplo.

Conclusões

A expressão central a se lembrar é $\sqrt{d x^{2} + d y^{2}}$ ‍, que representa uma pequena unidade de comprimento de arco em termos de $x$ ‍ e $y$ ‍.
A integral do comprimento do arco que você definiu começa sua vida mais ou menos assim:
$\int \sqrt{(d x)^{2} + (d y)^{2}}$ ‍
Antes de calcular a integral, tivemos que escrever o diferencial $d y$ ‍ em função do diferencial $d x$ ‍. Para fazer isto, calculamos a derivada da função que define a curva.
Em geral, uma integral pode ser calculada somente em relação a um único diferencial, e encontrar relações entre diferenciais pode ser realizado usando a derivada.
Talvez a lição mais importante para se tirar disto é que as integrais podem ser usadas para outras coisas além do cálculo da área sob uma curva.

Prática

Para solidificar a sua compreensão, você pode resolver mais problemas de comprimentos de arco no próximo artigo.

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