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Curso: Cálculo multivariável > Unidade 4

Lição 4: Integrais de linha em campos vetoriais (artigos)

Integrais de linha em um campo vetorial

Depois de aprender sobre integrais de linha em um campo escalar, aprenda sobre como integrais de linha funcionam em campos vetoriais.

Conhecimentos prévios

O que estamos construindo

Digamos que exista um campo vetorial

F

e uma curva

C

vagando por esse campo. Imagine que você está caminhando ao longo da curva, e que a cada passo você calcula o produto escalar entre os dois vetores a seguir:

O vetor do campo $F$ ‍ no ponto em que você está.
O vetor de deslocamento associado ao próximo passo que você der ao longo dessa curva.

Se você somar esses produtos escalares, terá acabado de estimar a integral de linha de $F$ ‍ ao longo de $C$ ‍

A notação abreviada para essa integral de linha é

\begin{array}{r} \int_{C} F \cdot d r \end{array}

(Dê atenção especial ao fato de que isso é um produto escalar)

A notação mais explícita, dada uma parametrização

r (t)

C

, é

\begin{array}{r} \int_{a}^{b} F (r (t)) \cdot r^{'} (t) d t \end{array}

Integrais de linha são úteis em física para calcular o trabalho realizado por uma força em um objeto em movimento.

Se você parametrizar a curva de forma que mova na direção oposta a medida que

t

aumenta, o valor da integral de linha é multiplicado por

- 1

Baleia caindo do céu

Imagine que temos uma baleia, que chamarei de Willy, caindo do céu. Suponha que ela caia ao longo de uma curva, talvez porque as correntes de ar a empurrem de um lado para o outro.

Nesse exemplo, estou assumindo que você esteja familiarizado com a ideia da física de que uma força realiza trabalho em um objeto em movimento, e que esse trabalho é definido como o produto escalar entre o vetor de força e o vetor de deslocamento.

Quando há uma força, como a gravidade, e um objeto se movendo na região em que a força atua, diz-se que a força está "realizando trabalho" no objeto. Por exemplo, suponha que Willy esteja caindo

100 m

do céu diretamente para baixo (ao longo de um período específico de tempo):

A força da gravidade nessa baleia é

$\begin{aligned} F & = m g \\ = (170.000 kg) (9, 8 \frac{m}{s^{2}}) \end{aligned}$ ‍

E o trabalho que a gravidade exerce sobre Willy é a força multiplicada pelo deslocamento:

$\begin{aligned} W & = F s \\ = \underset{Força}{\underset{⏟}{(170.000 kg) (9, 8 \frac{m}{s^{2}})}} \overset{deslocamento}{\overset{⏞}{(100 m)}} \end{aligned}$ ‍

Na verdade, essa fórmula não está completamente certa. Suponha que Willy não se mova diretamente para baixo. Em vez disso, talvez seu vetor deslocamento esteja para baixo e para a direita, com uma componente

y

- 60 m

e uma componente

x

- 80 m

A gravidade ainda exerce trabalho sobre Willy, mas tudo o que importa é a componente do vetor deslocamento de Willy na direção da gravidade. Em outras palavras, trabalho é o produto escalar entre o vetor força e o vetor deslocamento.

$\begin{aligned} W & = \vec{F} \cdot \vec{s} \\ = (- (170.000 kg) (9, 8 \frac{m}{s^{2}}) \hat{j}) \cdot (80 m \hat{i} - 60 m \hat{j}) \\ = - (170.000 kg) (9, 8 \frac{m}{s^{2}}) (- 60 m) \\ = (170.000) (9, 8) (60) \frac{kg m^{2}}{s^{2}} \end{aligned}$ ‍

Nesse caso, como a gravidade aponta apenas para a direção

- \hat{j}

, fazer o produto escalar acaba sendo o mesmo que retirar o componente vertical do vetor deslocamento.

Questão-chave: qual é o trabalho realizado sobre Willy pela gravidade conforme ele cai ao longo da curva

C

Normalmente, o cálculo do trabalho é feito com relação a um vetor reto de força e um vetor reto de deslocamento, então o que podemos fazer com essa trajetória curvada? Você pode começar imaginando que a curva está dividida em vários pequenos vetores deslocamentos:

Vá em frente e dê um nome para cada um desses vetores deslocamento,

{\vec{Δ s}}_{1}

{\vec{Δ s}}_{2}

{\vec{Δ s}}_{3}

\dots

O trabalho realizado pela gravidade ao longo de cada um desses vetores deslocamento é o vetor força da gravidade, que chamarei de

\vec{F_{g}}

, multiplicado pelo próprio vetor deslocamento:

\vec{F_{g}} \cdot {\vec{Δ s}}_{i}

O trabalho total realizado pela gravidade ao longo de toda a curva é então estimado por

\begin{array}{r} \sum_{n = 1}^{N} \vec{F_{g}} \cdot {\vec{Δ s}}_{n} \end{array}

Mas, é claro, isto é cálculo, então não olhamos apenas para um número específico de passos finitos ao longo da curva

C

. Nós consideramos o valor do limite a que essa soma se aproxima a medida que o tamanho desses passos se torna cada vez menor. Isto é capturado com a seguinte integral:

\begin{array}{r} \int_{C} \vec{F_{g}} \cdot \vec{d s} \end{array}

Isso é muito similar à integração de linha em um campo escalar, mas há uma diferença importante: o pequeno passo $\vec{d s}$ ‍ agora é pensado como um vetor, e não como um comprimento escalar. Na integral acima, eu escrevi tanto

\vec{F_{g}}

quanto

\vec{d s}

com pequenas setas em cima para enfatizar que eles são vetores. Uma maneira mais sutil e mais comum de enfatizar que essas são grandezas vetoriais é escrever a variável em negrito:

\begin{array}{r} \int_{C} F_{g} \cdot d s \end{array}

Conclusão principal: o que estamos somando conforme vagamos ao longo de

C

não é o valor total de

F_{g}

em cada ponto, mas, sim, a componente de

F_{g}

apontada na mesma direção que o vetor

d s

. Isto é, a componente de força na direção da curva.

Exemplo 1: colocando números na queda de Willy.

Vejamos como isso se desenvolve quando acompanhamos o cálculo.

Suponha que a curva da queda de Willy é descrita pela função paramétrica

\begin{array}{r} s (t) = [\begin{array}{c} 100 (t - sen (t)) \\ 100 (- t - sen (t)) \end{array}] \end{array}

O vetor

d s

, que representa um pequeno passo sobre a curva, pode ser dado como a derivada dessa função, multiplicada por

d t

d s = \frac{d s}{d t} d t = s^{'} (t) d t

Se isto lhe parece estranho, considere dar uma olhada no artigo que descreve derivadas de funções paramétricas. A forma de visualizar isso é pensar em um pequeno acréscimo ao parâmetro

t

de tamanho

d t

. Isso resulta em uma pequena variação ao longo da curva descrita por

s (t)

, que é dada pelo vetor

s^{'} (t) d t

Para calcular o vetor dessa derivada simplesmente precisamos cacular a derivada de cada componente:

\begin{aligned} \frac{d s}{d t} & = [\begin{array}{c} \frac{d}{d t} 100 (t - sen (t)) \\ \frac{d}{d t} 100 (- t - sen (t)) \end{array}] \\ \frac{d s}{d t} & = [\begin{array}{c} 100 (1 - \cos (t)) \\ 100 (- 1 - \cos (t)) \end{array}] \end{aligned}

A força da gravidade é dada pela aceleração

9, 8 \frac{m}{s^{2}}

multiplicada pela massa de Willy. Não que isso seja importante, mas eu pesquisei a massa tipica de uma baleia-azul, e ela é em torno de

170.000 kg

, então vamos usar este número.

Já que essa força é direcionada exclusivamente para baixo, a gravidade como um vetor força fica assim:

\begin{aligned} F_{g} & = [\begin{array}{c} 0 \\ - (170.000) (9, 8) \end{array}] \end{aligned}

Digamos que queremos encontrar o trabalho realizado pela gravidade entre os tempos

t = 0

t = 10

. O que você obtém quando insere todas essas informações na integral

\int_{C} F_{g} \cdot d s

e a calcula? Reserve um momento para tentar escrever isso sozinho antes de olhar a resposta.

(Aqueles estudantes de física, que como você perceberam que seria mais fácil apenas calcular o potencial gravitacional de Willy no início e no fim de sua queda e encontrar a diferença, vão adorar o tópico de campos conservativos!)

Visualizando integrais de linha mais gerais através de um campo vetorial

No exemplo anterior, o campo vetorial da gravidade é constante. A gravidade aponta direto para baixo com a mesma magnitude em todos os lugares. Como com a maioria das integrais de linha através de um campo vetorial, os vetores no campo são diferentes em diferentes pontos no espaço, então o valor multiplicado por

d s

varia. A animação a seguir mostra como isso pode ser.

(Observe que a animação utiliza a variável

r

, em vez de

s

, para parametrizar a curva, mas, é claro, isso não faz diferença).

Vamos analisar o que está acontecendo aqui. A integral de linha em si é escrita assim:

\begin{array}{r} \int_{C} F (r) \cdot d r = \int_{a}^{b} F (r (t)) \cdot r^{'} (t) d t \end{array}

em que

$F$ ‍ é um campo vetorial, que associa cada ponto no espaço a um vetor. Você pode pensar nisso como um campo de força.
$C$ ‍ é uma curva através do espaço.
$r (t)$ ‍ é uma função vetorial que parametriza a curva $C$ ‍ no intervalo $a \leq t \leq b$ ‍
$r^{'} (t)$ ‍ é a derivada de $r$ ‍, que representa o vetor velocidade de uma partícula cuja posição é dada por $r (t)$ ‍ enquanto $t$ ‍ aumenta a uma taxa constante. Quando você multiplica isso por um pequeno passo no tempo, $d t$ ‍, o resultado é um pequeno vetor deslocamento, que eu gosto de pensar como um pequeno passo ao longo da curva. Tecnicamente, é um pequeno passo na direção tangente à curva, mas para um $d t$ ‍ suficientemente pequeno, isso equivale à mesma coisa.
Observe que nessa animação o comprimento de $r^{'} (t)$ ‍ permanece constante. Isso não é necessariamente verdadeiro para a maioria das parametrizações de $C$ ‍, que podem aumentar ou diminuir sua velocidade a medida que sua posição varia de acordo com $r$ ‍. Por exemplo, Willy estava provavelmente acelerando durante a queda, fazendo o vetor velocidade crescer ao longo do tempo.
O círculo que gira no canto inferior direito do diagrama é um pouco confuso à primeira vista. Ele representa a extensão à qual o vetor $F (r (t))$ ‍ se alinha com o vetor tangente $r^{'} (t)$ ‍. Os vetores cinzas $x$ ‍ e $y$ ‍ são mostrados para se ver como estes vetores são orientados em relação ao plano $x y$ ‍ como um todo.

Verificação de conceito: o que representa o produto escalar

F (r (t)) \cdot r^{'} (t) d t

Em termos de física, você pode pensar neste produto escalar

F (r (t)) \cdot r^{'} (t) d t

como

d W

Isto é, uma pequena quantidade de trabalho realizado pelo campo de força

F

sobre uma partícula se movendo ao longo de

C

Exemplo 2: trabalho realizado por um tornado

Considere o campo vetorial descrito pela função

\begin{aligned} F (x, y) & = [\begin{array}{c} - y \\ x \end{array}] \end{aligned}

O campo vetorial fica assim:

Pensado como uma força, este campo vetorial empurra os objetos no sentido anti-horário ao redor da origem. Por exemplo, talvez isto represente a força relativa à resistência do ar no interior de um tornado. Isto é um pouco irreal porque implicaria que a força cresce continuamente à medida que você se afasta do centro do tornado, mas podemos dizer, apenas eufemisticamente, que ele é um "modelo simplificado" e continuar nosso caminho.

Suponha que queiramos calcular uma integral de linha através deste campo vetorial ao longo de um círculo de raio

1

centrado em

(2, 0)

Devo salientar que a orientação é relevante aqui. O trabalho realizado pelo campo de força do tornado à medida que caminhamos no sentido anti-horário em torno do círculo pode ser diferente do trabalho realizado à medida que caminhamos no sentido horário em torno dele (veremos isso explicitamente em breve).

Se escolhermos considerar uma caminhada no sentido anti-horário em torno deste círculo, podemos parametrizar a curva com a função.

\begin{aligned} r (t) & = [\begin{array}{c} \cos (t) + 2 \\ sen (t) \end{array}] \end{aligned}

em que

t

tem um intervalo de

0

2 π

Novamente, para definir a integral de linha que represente o trabalho, você considera o vetor força em cada ponto,

F (x, y)

, e o multiplica por um pequeno passo ao longo da curva,

d r

\begin{array}{r} \int_{C} F \cdot d r \end{array}

Etapa 1: expandir a integral

Verificação de conceito: qual das seguintes integrais representa a mesma coisa que

\begin{array}{r} \int_{C} F \cdot d r \end{array}

Etapa 2: expandir cada componente

Verificação de conceito: com base nas definições acima, qual é o valor de

F (r (t))

Verificação de conceito: qual é o valor de

r^{'} (t)

Etapa 3: calcular a integral

Verificação de conceito: junte as três últimas respostas para calcular a integral.

\begin{array}{r} \int_{C} F \cdot d r \end{array}

Esta resposta final dá a quantidade de trabalho realizado pelo campo de força do tornado sobre uma partícula se movendo no sentido anti-horário em torno do círculo ilustrado acima.

Pergunta para reflexão: por que deve ser intuitivo que essa resposta seja positiva?

Como o círculo está orientado no sentido anti-horário, você sobe pela metade da direita e desce pela metade da esquerda.

Os vetores que tocam a metade direita do círculo são relativamente longos e apontam aproximadamente na mesma direção que você anda, contribuindo assim com muito trabalho positivo.

Os vetores que tocam a metade esquerda do círculo ainda estão apontando aproximadamente para cima, o que é agora contra a direção que você está andando e, portanto, contribuem com trabalho negativo. No entanto, esses vetores são relativamente curtos, dessa maneira eles não anulam o trabalho positivo realizado enquanto se caminha pela metade direita.

A orientação importa

O que teria acontecido se, no exemplo anterior, tivéssemos orientado o círculo no sentido horário? Por exemplo, poderíamos tê-lo parametrizado com a função

\begin{aligned} r (t) & = [\begin{array}{c} \cos (t) + 2 \\ - sen (t) \end{array}] \end{aligned}

Se quiser, você pode inserir isso e realizar todos os cálculos para ver o que acontece. No entanto, há uma maneira mais simples de raciocinar sobre o que vai acontecer. Na integral

\begin{array}{r} \int_{C} F \cdot d r \end{array}

cada vetor

d r

que representa um pequeno passo ao longo da curva será girado para apontar na direção oposta.

Verificação de conceito: suponha que você tenha dois vetores

v

w

, e que

v \cdot w = 3

. Você gira

v

para apontar na direção oposta, obtendo um novo vetor

v_{novo} = - v

. O que acontece com o produto escalar?

v_{novo} \cdot w =

Como o produto escalar dentro da integral é multiplicado por

- 1

quando você inverte a direção de cada

d r

, podemos concluir o seguinte:

Conclusão-chave: a integral de linha através de um campo vetorial é multiplicada por

- 1

quando você inverte a orientação de uma curva.

Resumo

A notação abreviada de uma integral de linha através de um campo vetorial é

\begin{array}{r} \int_{C} F \cdot d r \end{array}

A notação mais explícita, dada uma parametrização $r (t)$ ‍ de $C$ ‍, é

\begin{array}{r} \int_{a}^{b} F (r (t)) \cdot r^{'} (t) d t \end{array}

Integrais de linha são úteis em física para calcular o trabalho realizado por uma força em um objeto em movimento.
Se você parametrizar a curva de tal forma que você se mova na direção oposta conforme $t$ ‍ aumenta, o valor da integral de linha é multiplicado por $- 1$ ‍.

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