Independência do caminho para integrais de linha

RKA22JL - E aí, pessoal? Tudo bem? Nesta aula, vamos mostrar a independência do caminho percorrido para integrais de linha. Basicamente, se eu tenho a integral de linha ao longo do caminho c de F vezes dr, graficamente, o que significa é que se eu colocar aqui o meu plano de coordenadas, a curva tem um início e um fim. Esse caminho percorrido é o caminho c, e o que eu quero calcular é a integral de linha desse campo vetorial ao longo dessa curva. E quando eu falo que essa integral independe do caminho percorrido, o que eu quero dizer? Significa que se eu pegar a mesma integral de F vezes dr, ao longo de outro caminho, o resultado vai ser o mesmo, ou seja, eu posso chamar esse caminho aqui de c1, e colocar aqui na curva também, e o outro de c2. Então, se eu começar no mesmo ponto, mas percorrer um caminho diferente, que eu posso chamar de c2, o valor da integral de linha será o mesmo. Isso é o que chamamos de campo vetorial conservativo, ou seja, o trabalho realizado para mover uma partícula no espaço depende dos pontos final e inicial. O que eu estou querendo dizer é que não importa o caminho que eu vou percorrer, o que é importante é o ponto inicial e o ponto final. Isso significa dizer que a integral de linha independe do caminho percorrido. Antes de provarmos isso, eu vou mostrar algumas peças que vão ser necessárias nesse processo. A primeira delas é a regra da cadeia para múltiplas variáveis, e, claro, eu não vou prová-la neste vídeo, mas eu vou tentar deixar bastante intuitivo para você. Para isso, vamos dizer que nós temos aqui uma função de “x” e “y”, mas que a variável “x” e a variável “y” dependam de uma terceira variável, “t”. Então, uma função f(x(t), y(t)). E qual é a derivada de “f” em relação a “t”? Eu tenho as variáveis “x” e “y” aqui, correto? Então, essa derivada vai ser igual à derivada de “f” em relação a “x”, vezes a derivada de “x” em relação a “t”, e se somarmos isso com a derivada de “f” em relação a “y”, vezes a derivada de “y” em relação a “t”. Se você tivesse outras variáveis aqui, o pensamento seria o mesmo. Nós derivamos a função em relação a essa variável e, depois, derivamos a variável em relação à outra. E, sempre, você vai somando. Ou seja, conforme eu tenho uma pequena variação de “t”, quanto de variação a função vai sofrer? Há duas maneiras de essa função F mudar. Ela pode mudar em relação a “x” e em relação a “y”, e, aí, eu somo essas duas variações, já que ambas estão variando em relação a “t”. E note que eu posso cancelar essa parcial em relação a “x” com essa aqui e essa parcial em relação a “y” com essa. E se eu somar isso, eu vou ter o total de variação de “f” em relação a “t”. Agora, dê uma segurada nessa regra da cadeia e imagine que você tenha uma função vetorial f(x,y). O gradiente dessa função, que eu posso representar assim, vai ser igual à derivada parcial de “f” em relação a “x” no ponto (x,y), na direção “i”, mais a derivada parcial de “f” em relação a “y” no ponto (x,y), na direção “j”. Intuitivamente, se nós temos aqui uma superfície f(x,y), o gradiente dessa função vai ser o campo vetorial que aponta para a descida mais inclinada. Isso significa que se você pegar qualquer ponto aqui no plano (x,y), esse gradiente vai dar a direção em que você precisa viajar para ir para a descida mais inclinada. Ou seja, a função tem um ponto mínimo por aqui e esse gradiente mostra esse caminho. Enfim, eu não vou entrar tanto nesse detalhe, porque nós temos outros vídeos aqui na Khan Academy a respeito desse assunto. O foco aqui é provar essa independência de caminhos. O que eu quero provar é que se f(x, y) é o gradiente de algum campo escalar, então, f(x, y) é conservativo. Isso é o mesmo que dizer que essas integrais de linha não dependem do caminho percorrido. Nós dependemos apenas do ponto inicial e do ponto final. Primeiro, lembre-se de que a função posição, que eu posso escrever como r(t) é igual a x(t) na direção “i”, mais y(t) na direção “j”, e esse “t” varia entre a e b. Aplicando a definição de gradiente, nós sabemos que f(x,y) é igual à derivada parcial de f(x,y) em relação a “x” na direção “i”. E, em vez de colocar toda hora esse (x,y), eu posso simplesmente chamar isso aqui de “efezão” (F). E, aí, eu vou ficar com a derivada parcial de “efezão” em relação a “x” na direção “i”, mais a derivada parcial de “efezão” em relação a “y” na direção “j”. E qual é a integral de “F” vezes dr ao longo do caminho c? Ou seja, ao longo deste caminho, que eu posso até colocar como o caminho c também. Nós sabemos que a derivada de “r” em relação a “t” é igual a derivada de “x” em relação a “t” na direção “i”, mais a derivada de “y” em relação a “t” na direção “j”. Então, para achar o dr, nós podemos multiplicar ambos os membros dessa igualdade por dt, e, aí, vamos ficar com dr igual a dx, sobre dt, que multiplica dt na direção “i”, mais dy sobre dt, vezes dt na direção “j”. E se eu substituir esse dr aqui, vamos ficar com o quê? Isso vai ser igual à integral de um caminho c, que pode ser até mesmo esse intervalo aqui da integral de “f” em relação a “x”, vezes a derivada de “x” em relação a “t”, vezes dt. E somamos isso com a derivada de “F” em relação a “y”, vezes a derivada de “y” em relação a “t”, vezes dt, e, claro, eu não preciso colocar “i” e “j” aqui, porque o “x” já está mostrando que está na direção “i” e o “y” está mostrando que está na direção “j”. E o que podemos fazer aqui? Simples. Colocar esse dt em evidência. Então, a integral de a até b, da derivada parcial de “F” em relação a “x”, vezes a derivada de “x” em relação a “t”, mais a derivada de “F” em relação a “y”, vezes a derivada de “y” em relação a “t”, tudo isso está sendo multiplicado pelo dt. Ou seja, isso aqui é equivalente a isso. E, agora, você vai entender por que eu falei da regra da cadeia. O que é essa parte? Note que essa soma é igual à derivada parcial de “f” em relação a “t”. Deixe eu copiar essa regra da cadeia aqui, para compararmos melhor. Então, o que podemos fazer aqui? Note que essas duas somas são iguais, então, ao invés de colocarmos desse jeito, podemos simplesmente colocar desse aqui. E, aí, vamos ficar com a integral de a até b da derivada de “F” em relação a “t”, vezes dt. E como você resolve essa integral? Você faz a integração dessa função interna em relação a “t”, ou seja, isso aqui vai ser igual a F(t) e, só para você não ficar tão confuso, se há uma função F(x,y), você pode reescrevê-la como uma função de t. Ou seja, F(x(t),y(t)), que é a mesma coisa que F(t). Então, o resultado dessa integral é igual a F(t) e que nós podemos avaliar de a até b. Deixe eu colocar isso aqui embaixo para ficar melhor para ver. Então, F(t), avaliado de a até b, é igual a “efezão” de b, menos “efezão” de a. É o famoso Teorema Fundamental do Cálculo. E se você quiser complicar um pouquinho mais, você pode até reescrever isso como F(x(b),y(b)) menos F(x(a),y(a)). Ou seja, você recebe um “x” e um “y”, aqui, do plano (x,y), e o “F” vai dar a altura em que você está. Isso é a mesma coisa que a integral de linha percorrendo o caminho c de F vezes dr, o que mostra que a integral de linha independe do caminho percorrido. Ou seja, só precisamos do ponto inicial, que é o “t” igual a “a”, que é a mesma coisa que x(a) e y(a) e do ponto final, que é t igual a b, que é a mesma coisa que x(b) e y(b). Mas como você chegou a essa conclusão? Simples. Para aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo aqui, eu só preciso do b e do a. Eu não preciso me preocupar com a curva entre eles. Isso mostra que se F(x,y) é igual ao gradiente de F, então, F é conservativo, ou que a integral de linha F vezes dr independe do caminho percorrido. E eu espero que essa aula tenha ajudado vocês e até a próxima, pessoal!