Intuição sobre o Laplaciano

RKA4JL - Olá, pessoal! Tudo bem? Vamos falar aqui sobre o operador Laplace, também conhecido como Laplaciano. O Laplaciano é um operador, da mesma forma que era com a divergência, o gradiente, a rotação ou até mesmo as derivadas, sabe? Aquelas coisas que você coloca em um tipo de função e que retornam uma outra nova função. Sendo assim, vamos dizer que temos uma função multivariável, como f, que recebe uma entrada bidimensional f(x,y). Assim sendo, você imagina o seu gráfico sendo algo como isso, onde o espaço de entrada é esse plano xy. Cada um desses pontos (x,y) são um ponto daqui e a saída é dada pela altura do gráfico. Então, o Laplaciano de f é denotado com o triângulo de ponta para cima, e ele vai nos dar uma nova função escalar de (x,y). Essa função que ele vai nos dar recebe uma entrada bidimensional e traz como saída um número. Ele é como uma derivada de segunda ordem porque é definido por você pegando a divergência do gradiente de sua função f. Uma notação mais comum aqui é pegar aquele triângulo de cabeça para baixo, ∇ (nabla), ponto, produto com ∇f. Vamos nos lembrar: se f é uma função de valor escalar, então o gradiente f te dá o campo vetorial, mas a divergência de um campo vetorial nos dá uma outra função de valor escalar. Como foi dito antes, agora um pouco mais explicado, é por isso que ele é como uma segunda derivada. Mas prosseguindo, vamos ver se conseguimos entender o que isso significa de uma forma mais intuitiva. O gradiente nessa situação, caso se lembre, nos dá o declive da descida mais íngreme. Assim sendo, é um campo vetorial na entrada, no espaço x. Cada um dos vetores aponta uma direção que você deveria andar, como mostra o gráfico. É uma colina e ele aponta a direção que você deveria ir para aumentar a sua direção mais rapidamente. Se isso parece estranho ou não faz sentido para você, seria bom dar uma olhada no vídeo em que falamos sobre gradientes e gráficos e como eles se relacionam. Seguindo, com esse gráfico que temos aqui, quando você tem o topo de uma colina, os pontos ao redor dela e a direção em que deveria andar, eles apontam para o topo dessa colina. Mas se você tiver uma descida como essa aqui, todas as direções nas quais você deveria andar para aumentar o valor de função apontam para longe desse valor, e poderíamos chamar esse local de mínimo. Agora vamos dar uma olhada no campo gradiente sem o gráfico e vamos pensar no que a divergência estaria representando. Novamente, caso pareça estranho ou confuso, é realmente legal voltar e dar uma olhada nos vídeos sobre divergência. A divergência nos faz pensar que isso corresponde a algum fluxo de fluido, e assim sendo, você imagina algo como moléculas d'água que em qualquer momento estão se movendo conforme os vetores em que estão anexadas. Então, por exemplo, se tivéssemos aqui a molécula d’água que iniciasse nesse ponto, ela estaria indo junto com o vetor, depois iria seguir aqueles próximos e iria terminar, por fim, nesse local. Realmente parece que muitas moléculas d'água convergem nesse local, enquanto que embaixo as moléculas tendem a ir para longe quando seguem os vetores. Quando elas se afastam dessa forma, quando você tem todo esse conjunto de vetores se afastando, isso é uma indicação que a divergência é positiva porque estão divergindo para longe e aqui a divergência é positiva. No entanto, no caso oposto, onde as moléculas da água estão indo para o ponto, seria onde nossa divergência seria negativa. Indo em uma outra área, nesse ponto central, temos moléculas que parecem estar indo na direção do ponto, e outras se afastando. Como não parece que as que estão saindo estão mais rápidas ou lentas do que embaixo, a divergência nesse local seria, então, de forma grosseira, zero. Agora vamos pensar no significado disso. Quando você pega a divergência no campo gradiente de f, temos pontos onde divergem bastante, pontos com muita divergência, como esse. A pergunta que deve surgir aqui é: Por que esses vetores estão apontando para longe? A razão pela qual isso está acontecendo é porque a direção da descida mais íngreme tem morros em todo lugar. Estamos em um vale aqui. Indo em direção oposta, onde a divergência é bem negativa porque os pontos convergem em direção a ele, nos perguntamos o porquê de apontar em direção a ele. Bem, esse é o campo gradiente, então eles estão apontando na direção desse local porque em qualquer lugar ao redor dele você deve andar na direção para seguir no morro. Em outras palavras, a divergência do gradiente é bem alta em pontos mínimos, pontos onde todo mundo ao redor tende a ser alto. Mas a divergência é baixa em pontos máximos, que é onde você calcula a função em todos os pontos ao redor do ponto de entrada e eles dão algo pequeno. Esse operador de Laplace, o Laplaciano, é um tipo de medida de quanto um ponto mínimo é esse (x,y). Será bem positivo quando f calculado em tal ponto der um valor menor se comparado com f avaliado nos pontos ao redor, mas será bem negativo quando você calcular f nesse ponto. Ele tende a ser maior que seus vizinhos, e isso deve ser considerado como algo análogo à segunda derivada no cálculo ordinário, pois quando você tem somente uma função de variável da segunda derivada f, a segunda derivada f vai ser baixa, será negativa nos pontos que parecem como um local máximo. Mas por aqui a segunda derivada seria positiva em pontos que parecem com o local mínimo. E o Laplaciano é uma analogia de segunda derivada para funções de valor escalar multivariáveis. No próximo vídeo iremos ver isso. E é isso, pessoal. Espero que tenham aprendido, e até a próxima!