Regra da cadeia multivariável

RKA2MP - Olá, meu amigo ou minha amiga! Tudo bem com você? Seja muito bem-vindo ou bem-vinda a mais um vídeo da Khan Academy Brasil. Neste vídeo, vamos começar a conversar sobre a regra da cadeia multivariável. Para começar, observe que eu escrevi aqui três funções diferentes. A primeira é uma função multivariável que tem uma entrada de duas variáveis, "x" e "y", e uma única saída variável igual a x² vezes "y". Bem, isto é apenas um número. Também temos outras duas funções aqui, que são funções paramétricas de variáveis únicas. O que eu quero fazer é começar a pensar sobre a composição destas funções. Então, primeiro, eu vou colocar aqui: f( Na primeira componente, eu vou colocar o valor da função x(t). Então, a gente substitui o resultado desta expressão aqui na primeira componente. Na segunda componente, temos o valor da função y(t). Você pode pensar em "t" como apenas estar vivendo em uma reta numérica de algum tipo. E aí temos o plano xy, em que, você sabe, temos as coordenadas "x" e "y". E isto aqui forma um espaço bidimensional. Temos aqui também a saída para qualquer valor de "f". Para toda esta função, para toda esta composição de funções, você está pensando em x(t), y(t) como tendo um único ponto em "t", meio que se movendo aqui para o espaço bidimensional em algum lugar. Então, a partir daí, a função multivariável tira isto de volta. Sendo assim, esta é apenas uma função variável única. nada muito grande acontecendo em termos de onde você começa e onde você vai parar. A gente tem apenas coisas diferentes acontecendo no meio disso tudo. Sabendo disso, o que basicamente eu quero fazer aqui é calcular a derivada desta função. Se eu calcular isso, a gente vai ter apenas uma derivada comum. Não é uma derivada parcial, porque esta é apenas uma função de única variável, uma entrada variável e uma saída variável. E como derivamos isto? Bem, existe uma regra especial que chamamos de "regra da cadeia". É a regra da cadeia multivariável, mas você não precisa saber disso agora. Vamos avaliar tudo isto aqui e eu vou te mostrar que você realmente não precisa disso. Não é que eu nunca você vai precisar. É que, para cálculos como este aqui, você consegue fazer isso sem a ideia da regra da cadeia multivariável. Ela é uma ferramenta teórica muito útil, principalmente para quando a gente tem a composição de uma função que acaba implicando em derivadas no mundo multivariável. Mas vamos fazer isto da forma clássica que a gente conhece. Vamos começar apenas substituindo as coisas aqui. Se eu tenho x(t), y(t), a primeira coisa que eu preciso fazer é escrever f( e, em vez de x(t), eu escrever cos(t) no lugar, já que essa é a função que eu tenho para x(t). Aí eu também substituo y(t) pelo sen(t). E claro, a gente espera calcular a derivada disso. A partir daí, podemos ir para a definição de f(x, y) = x²y. Isso significa que a gente precisa pegar esta primeira componente aqui e elevar ao quadrado. Então, vamos pegar essa primeira componente, que é o cosseno de "t", e elevá-la ao quadrado. Sendo assim, temos que isto é igual a cos(t)² vezes a segunda componente, que neste caso é sen(t). E claro, nós queremos derivar isto. Provavelmente, agora, você deve estar se perguntando: "Ok, por que isso está sendo mostrado no vídeo? Isso é apenas uma forma de obter a primeira derivada em uma derivada comum?" Sim, é basicamente isso. Mas o padrão que vamos ver vai nos levar para a regra da cadeia multivariável. E realmente vai ser muito surpreendente quando você vir isso nesse contexto, porque vai sair de uma maneira que você não esperaria. Enfim, continuando nosso trabalho aqui. Quando a gente deriva isto, a gente vai usar a regra do produto: a derivada do primeiro vezes o segundo, mais a derivada do segundo vezes o primeiro, ou vice-versa. Neste caso, o primeiro termo é (cos(t))². A gente vai deixá-lo do jeitinho que está. Ou seja, vamos colocar aqui cos²(t). Aí multiplicamos isto pela derivada do segundo, que neste caso é a derivada de sen(t), que é cos(t). Aí somamos isto com o segundo termo, que é sen(t), vezes a derivada do primeiro termo. Para derivar este primeiro termo, precisamos utilizar a regra da cadeia. Olhe aqui: é uma regra da cadeia de uma única variável. Para isso, a gente calcula a derivada da função externa. Assim, teremos o 2 aqui na frente, como se a gente estivesse derivando um x² e colocando o 2 na frente do "x". Aí colocamos o cos(t) aqui. Multiplicamos isto com a derivada da função interna, que neste caso é a derivada do cos(t). A derivada do cos(t) é -sen(t). Vamos nos livrar destes parênteses aqui, tem muitos deles. Então, eu vou reescrever tudo isto aqui. Só que um detalhe: eu não vou reescrever de qualquer maneira, porque há um certo padrão aqui que eu quero deixar bem claro. Esta primeira parte eu vou reescrever exatamente do mesmo jeito. Eu vou colocar aqui o cos²(t) vezes cos(t). E aqui eu vou colocar o 2 na frente desta parte. Aí coloco cos(t) vezes sen(t), vezes -(sen(t)). Portanto, esta é a composição de funções que, no final das contas, acaba sendo a derivada de uma função de variável única. Mas ela é uma espécie de derivada de duas variáveis diferentes. Sabendo disso, eu quero fazer uma observação em termos das derivadas parciais de "f". Então, eu vou copiar este cara e colocar aqui embaixo. Se eu fizer aqui a derivada parcial em relação a "x", ou seja, ∂f/∂x, eu tenho que tratar o "y" como uma constante, certo? Aí eu calculo a derivada de x² e obtenho 2x. Depois disso, eu multiplico com esta constante, que é "y". Agora, ao fazer a derivada parcial de "f" em relação a "y", o "x" é que precisa ser considerado uma constante e o "y", uma variável. Assim, ao derivar esta função em relação a "y", temos x² sendo uma constante (então colocamos isso aqui) e aí derivamos o "y", que neste caso é 1. x² vezes 1 é apenas x². A gente pode observar esse padrão aqui na derivada. Se você olhar para este 2 vezes xy, você pode ver isso aqui, onde o cosseno corresponde a "x" e o seno corresponde a "y". Temos isso aqui e o mesmo com o x² aqui. Agora, que tal realizar a derivada das funções intermediárias? Podemos derivar "x" em relação a "t", que neste caso é a derivada do cos(t), que vai ser apenas o -cos(t). Derivando, também, o "y" em relação a "t", a gente vai ter a derivada do sen(t), que é cos(t). Repare que estes caras também aparecem aqui. Você vê o seno negativo aqui e vê o cosseno aparecendo aqui também. Isso é muito legal, não é? Observando isso, a gente pode generalizar e reescrever a derivada desta função, pelo menos para este exemplo específico. Temos esta parte sendo a derivada parcial de "f" em relação a "y". Este outro cara aqui, cos(t), foi a derivada de "y" em relação a "t". De forma semelhante, temos toda esta parte correspondendo à derivada parcial de "f" em relação a "x". E esta parte final, o -sen(t), corresponde à derivada de "x" em relação a "t". E claro, quando eu escrevo esta ∂f/∂y, o que eu realmente quero dizer é que, quando você substituiu no "x" e "y" as duas funções de coordenadas x(t) e y(t), você colocou x(t) no lugar de x² e encontrou cos². E a mesma coisa aqui: você apenas substituiu todas as coisas. Enfim, em última análise, você acaba tendo uma função de "t". Concluindo: tudo isto aqui tem um nome. Isto é a regra da cadeia multivariável. E ela é importante o suficiente para a gente reescrever tudo isto e deixar bem guardado. Se a gente quer calcular a derivada em relação a "t" de uma composição que possui uma função multivariável, que neste caso aqui é de apenas duas variáveis, "x" e "y", onde estamos substituindo "x" e "y" por duas funções intermediárias, x(t) e y(t), cada uma das quais com apenas uma variável, o resultado vai ser igual a: a derivada parcial de "f" em relação a "x", vezes a derivada de "x" em relação a "t", mais a derivada parcial de "f" em relação a "y", vezes a derivada de "y" em relação a "t". Então, toda esta expressão aqui é o que você pode chamar de versão simples da regra da cadeia multivariável. É claro, meu amigo ou minha amiga, existe uma versão mais geral e vamos construir isso depois, mas este é o exemplo mais simples que você pode pensar, onde você começa com uma dimensão, aí você se move para duas dimensões de alguma forma, e depois se move para uma dimensão novamente. No próximo vídeo, eu vou falar sobre a intuição do porquê isto é verdade. Afinal, aqui eu apenas peguei um exemplo e mostrei que encontramos esse padrão neste exemplo. Mas é claro que existe uma linha de raciocínio muito boa para isto ter acontecido. Eu também vou falar sobre isso de uma forma mais generalizada, onde vamos começar usando uma notação vetorial mas aí acaba que, no final, teremos algo bem mais limpo. Enfim, eu vou dar uma volta, mas vamos formalizar tudo isso certinho, ok? Espero que você tenha compreendido tudo que a gente conversou aqui e, mais uma vez, eu quero deixar para você um grande abraço e até a próxima!