Introdução às derivadas parciais

RKA3JV - Olá, meu amigo ou minha amiga! Tudo bem com você? Seja muito bem-vindo ou bem-vinda a mais um vídeo da Khan Academy Brasil. Neste vídeo, vamos conversar sobre as derivadas parciais. Para começar a conversar sobre isso, vamos dizer que você tenha uma função de múltiplas variáveis f(x, y). Ou seja, teremos uma função que tem uma entrada de duas variáveis. Vamos dizer que esta função é igual a x² vezes y + sen(y). A função permite apenas um único número de saída, já que é uma função de valor escalar. A questão é como fazemos a derivada de uma expressão como esta. Bem, existe um método chamado de derivada parcial, que é muito parecido com as derivadas comuns. E eu quero te mostrar que eles são basicamente a mesma coisa. Para fazer isso, vamos relembrar aqui como que interpretamos a notação para derivada comum. Se você tem algum f(x) = x² e digamos que você queira derivar esta função, a gente começa aqui colocando a notação df/dx. E aí, vamos supor que a gente queira avaliar esta função em 2, por exemplo. Eu realmente gosto dessa notação, porque ela sugere bem o que está acontecendo. Se a gente esboçar um gráfico, este eixo aqui vai representar a nossa saída e este eixo representa a nossa entrada. E aí, x² vai ter uma forma de uma parábola. Algo, mais ou menos, assim. Então, vamos para a entrada em que "x = 2", aqui. Este pequeno "dx" aqui, eu gosto de interpretar apenas como um pequeno empurrão na direção "x". E é, mais ou menos, este aqui o tamanho dessa cutucada. E "df" é a variação resultante na saída depois de dar aquele pequeno empurrão inicial. Então, esta aqui é a variação resultante. Você tem esta ascensão para sua proporção entre a pequena variação da saída que é causada por uma pequena variação na entrada. E quando você está pensando em termos de gráficos, esta é a inclinação. E, claro, isso depende de onde você começa. Aqui, temos "x = 2". Agora, se você realmente quisesse, você também poderia pensar sobre isso sem gráficos. Você pode apenas pensar sobre o seu espaço de entrada como apenas uma linha numérica. E o seu espaço de saída também como uma reta numérica. A saída de "f" aqui. E aí, você pensa em alguma forma de mapear números daqui para a segunda reta. Neste caso, seu empurrão inicial, seu pequeno "dx" inicial, seria algum empurrão nesta reta numérica. E, claro, você deve estar se perguntando como que isso influencia na própria função. Talvez, isto cause um empurrão 4 vezes maior. Isso significaria que a derivada é 4 neste ponto. Eu estou falando sobre isso, porque, no mundo multivariável, podemos fazer praticamente a mesma coisa. Você pode escrever df/dx e interpretar isso dizendo: ei, como é que uma pequena variação em uma entrada na direção "x" influencia na saída? Só que, desta vez, o caminho para que você possa visualizá-lo é pensar em seu espaço de entrada. Aqui, eu vou desenhar como o plano (x, y), só que desta vez esse plano não é a representação gráfica da função. Aqui cada ponto do plano é uma entrada. E digamos que você esteja avaliando isso aqui no ponto (1, 2). Neste caso, você teria uma entrada igual a (1, 2). E, então, perguntaria como este pequeno empurrão na entrada, esta pequena variação "dx" influencia na saída. E, neste caso, a saída é apenas um número. Para visualizar isso, é melhor fazer um desenho como uma reta numérica como saída. E, de alguma forma, estamos pensando sobre a função como o ponto de mapeamento no plano para a reta numérica. Aí você me pergunta: ok, se este é o "dx", quanto que isto muda na saída? Talvez desta vez varie negativamente. Bem, depende da sua função, e isto aqui seria o "df". Você também pode fazer isso com a variável "y", certo? Não há razão para você não poder dizer df/dy. Avaliar neste mesmo ponto (1, 2), só que a gente vai interpretar de uma maneira totalmente diferente. Desta vez, em vez de ser "dx", seria uma variação na direção "y". Então, é muito bom aqui enfatizar que "dx" é uma variação na direção "x". E "dy" é uma variação na direção "y". Aí, talvez, quando você mudar o seu "f" de acordo com "y", ele faça algo diferente. Talvez a função aumente e aumente muito. Talvez seja mais sensível a "y". Novamente, isto depende da função. Eu vou mostrar como você pode calcular algo assim daqui a pouco. Mas, primeiro, tem uma espécie de coisa irritante associada às derivadas parciais e que não podemos deixar de falar. A gente não costuma escrever este tipo de derivadas com "d" em "dx", "df". Para isso, os matemáticos criaram uma nova notação, principalmente para enfatizar o leitor que a equação envolvida é uma função de várias variáveis. Assim, em vez de escrever o "d" tradicional, você escreve um "d" que tem uma espécie de curvatura. Este é o novo símbolo. E as pessoas frequentemente vão ler isso como parcial. Então, você pode ler como parcial "f", parcial "y". Agora, se você está se perguntando por que chamamos estas derivadas de parciais, é que ela não conta a história toda da função, ela mostra apenas como "f" varia em relação à direção "x", ou com uma função varia em relação à direção "y", ou em qualquer outra direção dependendo da situação. Então, cada derivada parcial é apenas uma pequena parte da história. Bem, sabendo disso, vamos avaliar isto aqui agora. Eu vou limpar o quadro aqui para ter um pouco mais de espaço. Eu acho que a analogia unidimensional é algo que provavelmente já temos. Já temos algumas partes disso. Porém, se você está realmente avaliando algo assim, eu vou escrever aqui de novo, ok? Queremos a derivada parcial de "f" em relação a "x". E estamos avaliando isso em (1, 2). Aqui, você só se preocupa com o movimento na direção "x". Portanto, trate "y" como uma constante. Nem mesmo se preocupe com o fato de que "y" muda. No que diz respeito, "y" é sempre igual a 2. Então, podemos apenas substituir isto aqui antes de continuar. Agora, eu vou escrever aqui parcial "f", parcial "x". Esta é a outra maneira de escrever. E aí, a gente coloca a expressão aqui. Eu vou colocar aqui x², mas em vez de escrever "y", eu só vou substituir esta constante de uma vez. Porque quando você está apenas se movendo na direção "x", é assim que a função multivariável vê o mundo. Eu vou apenas manter uma pequena nota que estamos avaliando isso tudo em "x = 1". E aqui isto é realmente apenas uma derivada comum. Esta é uma expressão onde temos um "x". E você está perguntando como isso muda, conforme você muda em torno de "x". E você sabe como fazer isso. Temos apenas que calcular a derivada de x² vezes 2. Bem, isto vai ser 4x, porque a derivada de x² vai ser 2x. E multiplicando por 2, a gente vai ter 4x. Temos agora derivada de uma constante. Bem, a derivada de sen(2), que é apenas uma constante, é zero. E é claro, estamos avaliando isso em "x = 1", então, a resposta geral aqui será 4. Agora, também vamos fazer a derivada parcial em relação a "y"? Aqui eu vou escrever a mesma coisa. Estamos querendo obter a derivada parcial de "f" em relação a "y". Estamos avaliando isso no ponto (1, 2). Agora, desta vez, não nos preocupamos com o movimento na direção "x". Então, no que diz respeito, aquele "x" apenas permanece constante em 1. Sendo assim, escrevemos 1² vezes "y", mais o sen(y). Você escreve aqui, eu estou avaliando isso em "y = 2". Calculando a derivada, a gente quer a derivada de 1² vezes "y", que é apenas 1. Agora, também queremos a derivada de sen(y). Isto é igual ao cos(y). Sendo assim, a resposta geral aqui é 1 + cos(2). Olha, de cabeça eu não sei o valor de cos(2). Então, eu deixo a resposta deste jeito. Esta aqui é a derivada em um ponto, mas em muitos momentos não é pedido para fazer a avaliação em um ponto. Assim, o que vamos querer obter é uma fórmula geral para que a gente possa substituir qualquer valor de "x" e "y". E aí, encontrar a resposta. Sabendo disso, vamos fazer isso aqui. Na verdade, é muito semelhante, mas desta vez, em vez de substituir algum valor constante, a princípio, vamos apenas fingir que uma das variáveis é constante. Vamos limpar o quadro aqui. Não precisamos mais disso agora. Mas eu vou deixar o parcial "f", parcial "x" e o parcial "f", parcial "y". Queremos isso aqui como uma função geral de "x" e "y". Para isso, a gente vai fazer basicamente a mesma coisa. Vamos dizer que isto é uma derivada em relação a "x". E eu estou usando parciais apenas para enfatizar que é uma derivada parcial. Mas a ideia é a mesma da derivada comum. Agora, escrevemos x² e vamos colocar aqui também o "y". Lembrando que o "y" aqui vai ser considerado um valor constante. Aí, a gente coloca mais o sen(y). Como eu falei, aqui estamos escrevendo a variável "y", mas temos que fingir como se fosse uma constante. Você vai fingir que substituiu o "y" por 2 ou por qualquer outro número. Aqui, novamente, calculamos a derivada de x² que é 2x. Aí, multiplicamos isso por esta constante que, neste caso é "y". Agora, aqui temos a derivada de sen(y), que, neste caso, é a derivada de uma constante. Não se esqueça que a derivada de uma constante é sempre igual a zero. Então, isto será zero. Sendo assim, temos aqui uma forma mais geral da derivada parcial em relação a "x". E aí, se você substituir (1, 2) aqui, vamos chegar ao que encontramos antes. Vamos fazer agora o mesmo para a parcial "f", parcial "y". Nós escrevermos todas as mesmas coisas, mas agora você está calculando em relação a "y". Eu vou apenas copiar esta fórmula aqui na verdade. Mas, desta vez, nós vamos considerar todos os "x" como sendo constantes. Então, neste caso, quando você calcula a derivada em relação a "y" de "y" sendo multiplicada por algum tipo de constante, em que a constante neste caso é x², temos que a derivada vai ser apenas igual a essa constante. Ou seja, x². Aí, aqui somamos isto com a derivada do sen(y), não tem nenhum "x" nesta parte. Então, temos apenas que calcular a derivada do sen(y), que, neste caso, é apenas o cos(y). Esta é uma fórmula geral. Se você substituir (1, 2) aqui, vamos encontrar o mesmo que encontramos antes. Ou seja, 1 + cos(2). Então, é isso que você precisa fazer para calcular uma derivada parcial. Você finge que umas das variáveis é constante, e aí calcula a derivada do mesmo jeito que já fez antes. Talvez, agora você tenha chegado a uma conclusão que isto tudo faz sentido, porque ao calcular a derivada parcial, você está vendo o que acontece em uma direção com a entrada que eu vou colocar na função. Ou seja, você pode ver como esta entrada vai influenciar em cada uma das direções que você estiver observando com a derivada parcial. No próximo vídeo, eu vou mostrar para você o que isso significa em termos de gráficos e inclinações. Mas é importante saber que gráficos e inclinações não são as únicas formas de entender derivadas. Porque assim que você começar a pensar sobre funções vetoriais, ou funções com entradas de dimensões superiores, há apenas duas, você não pode mais pensar em termos de gráficos. Mas esta ideia de dar um empurrão na entrada em alguma direção vendo como isso influencia no resultado, e aí, obter a proporção deste empurrão na saída em relação ao empurrão de entrada, é uma coisa mais geral e legal de ver as coisas. E isso vai ser muito útil à medida que a gente for avançando nossos estudos em cálculos de múltiplas variáveis. Eu espero que você tenha compreendido tudo direitinho o que a gente viu aqui. E, mais uma vez, eu quero deixar para você um grande abraço, e até a próxima!