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Curso: Cálculo multivariável > Unidade 1

Lição 6: Visualização de funções multivariáveis (artigos)

O que são funções multivariáveis?

Uma visão geral de funções com múltiplas variáveis, com uma pequena prévia de como é aplicar o cálculo a esse tipo de função.

O que estamos construindo

Uma função é chamada multivariável se a sua entrada for composta de múltiplas variáveis.
$f (\underset{\begin{matrix} Múltiplos números \\ na entrada \end{matrix}}{\underset{⏟}{x, y}}) = x^{2} y$ ‍
Se a saída de uma função for composta de múltiplos números, a função também pode ser chamada de multivariável, mas estas são mais comumente conhecidas como funções vetoriais.
$f (x) = [\begin{matrix} \cos (x) \\ sen (x) \end{matrix}] \leftarrow Múltiplos números na saída$ ‍
A visualização dessas funções é feita em um espaço com várias dimensões (geralmente apenas duas ou três se não quisermos que nossos cérebros explodam).

O que são funções multivariáveis?

Quando eu aprendi sobre funções, e talvez isso também valha para você, eu me lembro de considerá-las como um número que entra e um número que sai. Um exemplo típico seria algo assim:

f (x) = x^{2}

Ou isto:

f (x) = sen (x) + 2 \sqrt{x}

E se você se pensar na primeira vez que aprendeu sobre funções, deve se lembrar que te ensinaram a considerar uma função como uma máquina que puxa um dado, manipula-o de alguma forma, e depois, cospe uma saída.

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Mas na verdade, as funções não têm apenas que puxar e cuspir números, elas podem pegar qualquer coisa e cuspir outra coisa. No cálculo multivariável, essa coisa pode ser uma lista de números. Isso quer dizer que, a entrada e/ou saída podem consistir de múltiplos números.

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**Exemplo de diferentes tipos de funções**
	Entrada de único número	Entrada de múltiplos números
Saída de único número	$f (x) = x^{2}$ ‍	$f (x, y) = x^{2} + y^{3}$ ‍
Saída de múltiplos números	$f (t) = (\cos (t), sen (t))$ ‍	$f (u, v) = (u^{2} - v, v^{2} + u)$ ‍

Uma função multivariável é só uma função cuja entrada e/ou a saída é constituída de múltiplos números. Por outro lado, uma função com entrada e saída de um único número é chamada de função de única variável.

Obs: Alguns autores e professores usam a palavra multivariável apenas para funções com múltiplas entradas, não saídas.

Lista de números $\leftrightarrow$ ‍ pontos no espaço

O que torna o cálculo multivariável belo é que a visualização das funções, juntamente com todo o novo cálculo que você vai aprender para manipulá-las, envolve o espaço com várias dimensões.

Por exemplo, digamos que a entrada de uma função com a qual você está lidando é um par ordenado, como

(2, 5)

. Você poderia considerar isso como duas coisas separadas: o número dois e o número cinco.

Entretanto, é mais comum representar um par como

(2, 5)

como um único ponto em um espaço bidimensional, com coordenada

x = 2

e coordenada

y = 5

Da mesma forma, é divertido pensar em um trio de números como

(3, 1, 2)

não como três coisas separadas, mas como um único ponto em um espaço tridimensional.

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Assim, funções multivariáveis referem-se à associação de pontos em um espaço com pontos em outro espaço. Por exemplo, uma função do tipo

f (x, y) = x^{2} y

, que possui uma entrada com duas variáveis e uma saída com apenas uma, associa pontos no plano

x y

com pontos na reta numérica. Uma função do tipo

f (x, y, z) = (y z, x z, x y)

associa pontos no espaço tridimensional com outros pontos no espaço tridimensional.

Nos próximos artigos, vou mostrar vários métodos que você pode utilizar para visualizar essas funções. Essa visualizações podem ser muito bonitas e muitas vezes ajudam muito a entender porque uma equação é do jeito que é. Entretanto , também pode ser bem confuso algumas vezes, especialmente se o número de dimensões envolvidas é maior que três.

Eu acho reconfortante relaxar e entender que, no fim das contas, são apenas números. Talvez um par de números se tornando um trio, ou talvez sejam cem números virando cem mil, mas, no fim, qualquer tarefa que você realizar —ou um computador realizar— é feita com um número de cada vez.

Funções vetoriais

Às vezes uma lista de números, como

(2, 5)

, não é vista como um ponto no espaço, mas como um vetor. Isso quer dizer que uma seta se move

2

para a direita e

5

para cima, conforme você vai da sua base a sua ponta.

Para enfatizar a diferença conceitual, é normal usar uma notação diferente, seja escrevendo os números verticalmente,

[\begin{matrix} 2 \\ 5 \end{matrix}]

, ou colocando o símbolo

\hat{i}

representando a componente

x

\hat{j}

representando a componente

y

2 \hat{i} + 5 \hat{j}

Isso é, naturalmente, apenas uma diferença conceitual. Uma lista de números é uma lista de números, não importa se você escolher representá-la com uma seta ou um ponto. Dependendo do contexto, no entanto, pode ser mais natural pensar nos vetores. Velocidade e força, por exemplo, são quase sempre representadas como vetores, uma vez que isso dá uma forte indicação visual de movimento, ou de empurrar e puxar.

Por alguma razão, quando se trata de funções multivariáveis, é mais comum que você pense na saída como um vetor, e pense na entrada como um ponto. Isso não é uma regra, apenas acontece de ser assim, eu acho.

Terminologia

As funções cuja saída é um vetor são chamadas funções vetoriais, enquanto funções com um único número na saída são chamadas funções escalares, como é comum na engenharia, ou funções reais, como é comum na matemática pura (real no sentido de número real).

Exemplos de funções multivariáveis

Quanto mais tentamos modelar o mundo real, mais percebemos como o cálculo com apenas uma variável pode ser restritivo. Aqui temos apenas alguns exemplos das situações onde as funções multivariáveis aparecem.

Exemplo 1: De localização para temperatura

Para modelar variações de temperatura em uma grande região, você pode utilizar uma função que usa duas variáveis - longitude e latitude, talvez até a altitude como uma terceira - e terá como resultado uma variável, a temperatura. Isso é escrito da seguinte maneira:

T = f (L_{1}, L_{2})

$T$ ‍ é temperatura.
$L_{1}$ ‍ é longitude.
$L_{2}$ ‍ é latitude.
$f$ ‍ é uma função complicada que determina a qual temperatura corresponde cada par longitude-latitude.

De maneira alternativa, você poderia dizer que a temperatura

T

é uma função da longitude

L_{1}

e latitude

L_{2}

e escrevê-la como

T (L_{1}, L_{2})

Exemplo 2: De tempo para localização

Para modelar a forma como uma partícula se move pelo espaço ao longo do tempo, você pode usar uma função que usa um número—o tempo—e gera as coordenadas da partícula, talvez dois ou três números dependendo da dimensão que você está modelando.

É possível escrever isso de duas maneiras diferentes:

\vec{s} = f (t)

$\vec{s}$ ‍ é um "vetor deslocamento" de duas ou três dimensões, que indica a posição da partícula.
$t$ ‍ é tempo.
$f$ ‍ é uma função vetorial.

Como alternativa, você pode separar os componentes da função vetorial em funções escalares

x (t)

y (t)

, que indicam as coordenadas de x e y em função do tempo:

\begin{aligned} x (t) & = \dots (alguma expressão de t) \dots \\ y (t) & = \dots (outra expressão de t) \dots \end{aligned}

Exemplo 3: De informações do usuário para previsão

Quando um site tenta prever o comportamento do usuário, ele pode criar uma função que usa milhares de variáveis, incluindo a idade do usuário, as coordenadas de sua localização, o número de vezes que ele clicou em links de um certo tipo, etc. A saída pode também incluir múltiplas variáveis, como a probabilidade de clicar em um link diferente ou a probabilidade de comprarem um item diferente.

Exemplo 4: De posição para um vetor velocidade

Se você está modelando o fluxo de um fluido, uma abordagem é expressar a velocidade de cada partícula individual no fluido. Para fazer isso, imagine uma função que usa como entrada as coordenadas de uma partícula, e cuja saída seja o vetor velocidade dessa partícula.

Novamente, isso pode ser escrito de várias maneiras:

\vec{v} = f (x, y)

$\vec{v}$ ‍ é um vetor velocidade de duas dimensões.
$x$ ‍ e $y$ ‍ são coordenadas de posição.
$f$ ‍ é uma função vetorial multivariável.

Alternativamente, você pode quebrar os componentes da função vetorial

f

e usar a notação

\hat{i}

\hat{j}

\vec{v} = g (x, y) \hat{i} + h (x, y) \hat{j}

$\vec{v}$ ‍ é um vetor de duas dimensões.
$\hat{i}$ ‍ é o vetor unitário na direção $x$ ‍.
$\hat{j}$ ‍ é o vetor unitário na direção $y$ ‍.
$g$ ‍ é uma função escalar indicando o componente $x$ ‍ de cada vetor como uma função da posição.
$h$ ‍ é uma função escalar indicando o componente $y$ ‍ de cada vetor como uma função da posição.

Onde entra o Cálculo

Há dois tópicos fundamentais em cálculo:

Derivadas, que estudam a taxa de variação de uma função quando você ajusta sua entrada.
Integrais, que estudam como somar infinitamente muitas quantidades infinitesimais que compõem a saída de uma função.

O cálculo multivariável estende essas ideias para funções com entradas e/ou saídas de dimensões maiores.

No que diz respeito aos exemplos acima, as taxas de variação podem referir-se a:

Como a temperatura varia à medida que você se move em uma direção.
O quanto o comportamento de um consumidor online é afetado quando um aspecto do site muda.
As flutuações na taxa de fluxo através do espaço.

Por outro lado, "somar infinitamente muitas quantidades infinitesimais" pode significar

Encontrar a temperatura média.
Calcular o trabalho total de uma partícula por uma força externa enquanto ela se move.
Descrever a velocidade líquida de toda a região de algum líquido corrente.

O que faz com que esses casos sejam fundamentalmente diferentes de um cálculo de variável simples é que precisamos descrever variações em diferentes direções, além de como essas alterações se relacionam entre si. Você verá o que quero dizer nos próximos tópicos.

Verificação de conceito: no Exemplo 2 acima, no qual a localização de uma partícula é descrita como uma função do tempo, qual seria um exemplo de taxa de variação que poderia nos interessar?

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Rian
Publicado há há 8 anos. Link direto para a postagem “Mas, realmente, funções n...” de Rian
Mas, realmente, funções não só tem que tomar e cuspir números, eles podem tomar em qualquer coisa e cuspir qualquer coisa. Em cálculo multivariada, essa coisa pode ser uma lista de números. Isto quer dizer, a lata de entrada e / ou saída consiste em vários números.

Exemplo de diferentes tipos de funções
entradas de número múltiplo de entrada-número único
Valor único de saída de f (x) = x ^ 2f (x) = x
2
f, parêntese esquerdo, x, parêntese direito, iguais, x, comece sobrescrito, 2, sobrescrito end {f (x, y) = x ^ 2 + y ^ 3} f (x, y) = x
2
+ y
3
f, parêntese esquerdo, x, vírgula, y, parêntese direito, iguais, x, comece sobrescrito, 2, sobrescrito final, além de, y, iniciar sobrescrito, 3, sobrescrito final
saída de múltiplos número {f (t) = (\ cos (t), \ sin (t))} f (t) = (cos (t), sin (t)) f, parêntese esquerdo, t, parêntese direito, é igual, parêntese esquerdo, cosseno, parêntese esquerdo, t, parênteses direito, vírgula, seno, parêntese esquerdo, t, parêntese direito, direito parêntese {f (u, v) = (u ^ 2 - v, v ^ 2 + u) } F (u, v) = (u
2
-v, v
2
+ U) f, parêntese esquerdo, u, vírgula, v, parêntese direito, iguais, parêntese esquerdo, u, iniciar sobrescrito, 2, sobrescrito final, menos, v, vírgula, v, iniciar sobrescrito, 2, sobrescrito fim, além disso, u, parêntese direito
Uma função de múltiplas variáveis é apenas uma função cuja entrada e / ou saída é composta de vários números. Em contraste, uma função com entradas de número único e uma de número único saídas é chamada de função de uma variável.
Nota: Alguns autores e professores usar a palavra multivariada para funções com entradas de vários números, não saídas
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Exemplo 3: De informações do usuário para previsão

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