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Curso: Engenharia elétrica > Unidade 5

Lição 2: Campos, potencial e tensão

Linha de carga

Exemplo avançado: campo elétrico em torno de uma linha infinita uniformemente carregada. Escrito por Willy McAllister.

Exemplo Prático: Campo elétrico perto de uma linha de carga

Vamos derivar uma expressão para o campo elétrico perto de uma linha de carga.

O resultado mostrará que o campo elétrico perto de uma linha de carga cai

1 / a

, onde

a

é distância da linha.

Vamos supor que temos uma linha longa de comprimento

L

, com a carga total

Q

. Suponhamos que a carga está distribuída uniformemente ao longo da linha. A carga total na linha é

Q

, então a densidade da carga em coulombs/metro é,

μ = \frac{Q}{L}

Suponha que uma carga de teste

q

é posicionada em frente do centro da linha, a uma distância

a

Qual o campo elétrico no local de $q$ ‍ devido à (criado pela) linha de carga?

Esse cálculo levará a uma solução geral do campo elétrico para qualquer comprimento

L

, e qualquer distância

a

. Usando essa solução geral, iremos resolver um caso particularmente útil onde a linha é muito comprida em relação à distância para a carga de teste,

L ≫ a

Primeiramente, criamos e definimos algumas variáveis para nos referirmos a elas.

$a$ ‍ é a distância da linha de carga ao local da nossa carga de teste $q$ ‍.
$d Q$ ‍ é uma pequena quantidde de carga contida em numa pequena secção da linha $d x$ ‍.
$x$ ‍ é a distância de onde $a$ ‍ toca a linha de carga a $d Q$ ‍.
$r$ ‍ é a distância de $d Q$ ‍ ao local da carga de teste.
$θ$ ‍ é o ângulo entre $a$ ‍ e $r$ ‍.

O campo elétrico no entorno de uma carga pontual,

Q

é,

E = \frac{1}{4 π ϵ_{0}} \frac{Q}{r^{2}}

O campo elétrico no local da carga de teste

q

devido a uma pequena fatia de carga na linha,

d Q

, é

d E = \frac{1}{4 π ϵ_{0}} \frac{d Q}{r^{2}}

A quantidade de carga

d Q

pode ser redefinida em função da densidade de carga

d Q = μ d x

d E = \frac{1}{4 π ϵ_{0}} μ \frac{d x}{r^{2}}

A variável independente mais apropriada para este problema é o ângulo

θ

. A análise é simplificada reformulando-se a equação para fazer

d θ

variar numa faixa de ângulos em vez de variar dx ao longo da linha (isso é uma mudança de variável).

O objetivo aqui é desenvolver uma expressão para

d θ

em termos de

d x

. Então, nós iremos substituir isso na equação para o campo elétrico.

Algumas identidades trigonométricas úteis, das definições de cosseno, secante e tangente,

\cos θ = \frac{a}{r} r = a \frac{1}{\cos θ} = a \sec θ r^{2} = a^{2} \sec^{2} θ

tg θ = \frac{x}{a} x = a tg θ

Nosso objetivo é substituir

d x

com alguma forma de

d θ

, então pegar a derivada de

x

com relação a

θ

baseada na identidade da tangente,

\frac{d x}{d θ} = a \frac{d}{d θ} tg θ

\frac{d x}{d θ} = a \sec^{2} θ

d x = a \sec^{2} θ d θ

Finalmente, calcular

\frac{d x}{r^{2}}

\frac{d x}{r^{2}} = \frac{a \sec^{2} θ d θ}{a^{2} \sec^{2} θ}

Aproveite alguns cancelamentos para terminar com uma expressão para

d θ

a

podemos trocar em

d x

r

\frac{d x}{r^{2}} = \frac{d θ}{a}

Agora nos voltamos para a discussão principal e usamos nossa mudança de variável.

Após a mudança de variáveis, podemos redesenhar o diagrama em função de

d θ

A mudança de variáveis nos permite substituir

\frac{d x}{r^{2}}

por

\frac{d θ}{a}

na equação anterior,

d E = \frac{1}{4 π ϵ_{0}} μ \frac{d θ}{a}

Agora vamos explorar a disposição simétrica de carga imaginando o campo elétrico apenas na direção

y

(a direção que vai diretamente da linha para

q

Isso quer dizer que reduzimos o campo elétrico

d E

ao cosseno do ângulo

θ

d E_{y} = \frac{1}{4 π ϵ_{0}} \frac{μ}{a} \cos θ d θ

Estamos prontos para integrar (somar) todas as contribuições de cada

d Q

para obter o campo elétrico,

E_{y} = \int_{- θ}^{+ θ} \frac{1}{4 π ϵ_{0}} \frac{μ}{a} \cos θ d θ

Essa é solução geral para o campo elétrico perto de qualquer comprimento de linha,

L

, em qualquer distância

a

da linha. Os limites

\pm θ

são os ângulos para cada extremidade da linha.

Caso prático: linha de carga longa

Agora vamos resolver o caso prático onde a linha de carga é muito longa em relação à distância

a

, ou

L ≫ a

. Se você se encontra em

q

e vira sua cabeça para olhar em qualquer direção para cada extremidade dessa linha muito longa, sua cabeça vira (muito perto de)

\pm 90^{\circ}

(

\pm π / 2

radianos). Esses se tornam os limites da nossa integração.

E_{y} = \int_{- π / 2}^{+ π / 2} \frac{1}{4 π ϵ_{0}} \frac{μ}{a} \cos θ d θ

Movemos qualquer coisa que não dependa de

θ

para fora da integral.

E_{y} = \frac{1}{4 π ϵ_{0}} \frac{μ}{a} \int_{- π / 2}^{+ π / 2} \cos θ d θ

e calcule a integral,

E_{y} = \frac{1}{4 π ϵ_{0}} \frac{μ}{a} sen θ |_{- π / 2}^{+ π / 2} = \frac{1}{4 π ϵ_{0}} \frac{μ}{a} (+ 1 - - 1) = \frac{2}{4 π ϵ_{0}} \frac{μ}{a}

Finalmente, o campo elétrico criado por uma longa linha de carga em um ponto

a

fora da linha é,

E_{y} = \frac{μ}{2 π ϵ_{0}} \frac{1}{a}

Muito bom se você seguiu isso até o final. A descoberta importante deste exercício é: ao contrário

1 / r^{2}

para uma carga pontual, o campo ao redor da linha de carga cai como

1 / a

Nós usamos muita matemática para derivar esse resultado. Vale a pena gastar um tempo com essa solução para consolidá-la. Agora que você viu a matemática, faz sentido intuir que a distância tem um expoente diferente,

1 / a

, comparado com o de uma carga pontual,

1 / r^{2}

Como diversão, se você se lembrar da fábula da arma de manteiga do artigo da Lei do Inverso do Quadrado, você pode projetar uma nova arma de manteiga para uma linha de carga, que lança um padrão

1 / a

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