Ondas estacionárias em tubos abertos

RKA4JL - Se você assopra sobre o topo de uma garrafa, você vai obter um certo som, e a questão é: como isso pode acontecer? O que nos permite conhecer algo a respeito disso é o que chamamos de ondas estacionárias, ou também um fenômeno chamado de ressonância. E o que são estas coisas? Para estudar isso, tenho um modelo. Aqui eu tenho uma lata aberta nesta extremidade e fechada na outra extremidade. É como uma lata ou um tubo fechado em uma extremidade e aberto na outra, deitadinho. Se eu assoprasse o ar no sentido de dentro da lata, esta molécula de ar que está bem aqui no fundinho não conseguiria se mover muito, ela encontraria uma resistência do fundo da lata e do ar que está vindo da esquerda para direita, pressionando-a. Entretanto, esta molécula que está aqui consegue se mover feito louca para a esquerda e para a direita, sem parar. Não se moveria tanto, aqui eu só estou exagerando um pouco para que você possa enxergar. As moléculas aqui da região do meio iriam oscilar um pouco menos do que essa, digamos, da média. Nesta animação você pode ver que no fundo da lata o ar não consegue se mover e nas proximidades de onde a lata é aberta, ele consegue se mover com uma amplitude maior. E quanto mais para dentro da lata, menor amplitude do movimento das moléculas de ar. Se você cortar o fundo da lata, você também vai ser capaz de gerar uma onda estacionária. Temos aqui a lata, o tubo, o que você quiser, mas agora aberta nas duas extremidades. Ou seja, agora esta molécula aqui pode oscilar como louca, assim como esta aqui pode oscilar como louca. E o que acontece é que as moléculas aqui, da região central, vão mover-se muito pouquinho, até mesmo não mover-se. Você pode ver isto nesta animação: os extremos movendo-se intensamente e no centro não temos a mesma situação. Essa é a ideia da onda estacionária. Observe que mesmo com esse nome de onda estacionária, o ar está em movimento. O ar se move para trás e para frente. Lembre-se: na onda você tem uma região de compressão e essa região de compressão está se movendo com uma certa velocidade. Ela não está parada, embora tenha o nome "onda estacionária". Bem, e como descrevemos isso matematicamente? Essa é a parte que muitas vezes deixa as pessoas loucas. Para tentar compreender um pouco, eu desenhei aqui algumas linhas que mostram onde as moléculas estão na sua posição de equilíbrio. Essas linhas indicam onde essas moléculas de ar gostariam de estar e quando começam a haver ondas sonoras passando por ali, então elas são deslocadas dessa posição. Assim, então, é como você vê o ar antes, o ar no momento do equilíbrio. Quando existe um movimento da região de compressão, nós podemos enxergar algo como isto. Agora, o ar está deslocado em relação à posição de equilíbrio. Estas moléculas de ar estavam nesta linha; esta aqui, nesta linha e assim por diante. A molécula que estava aqui nesta linha moveu-se para cá, a molécula que estava nesta linha moveu-se para cá, a que estava aqui moveu-se para cá, a que estava aqui moveu-se para cá, esta aqui não foi a lugar algum, esta outra foi para a direita, esta foi para a direita a uma distância maior, esta foi também para a direita a uma distância maior ainda, e esta para cá. Vamos tentar representar graficamente o que está acontecendo aqui. Nós temos diferentes deslocamentos nas diferentes regiões. Vou colocar um eixo horizontal que representa qual é a minha posição ao longo do tubo, e no eixo vertical eu vou representar quanto deslocamento realmente houve da molécula de ar. Aqui, então, deslocamento. Neste eixo, então, a posição ao longo do tubo, e neste eixo, o deslocamento que houve da molécula de ar. Fazendo o gráfico disso, o que nós vamos obter? Vamos considerar, então, já que para esta molécula onde eu estou, eu estou neste ponto do eixo x. Esta molécula deslocou-se uma quantidade grande à esquerda, vamos considerar que a esquerda é negativa e a direita, positiva. Então, eu vou marcar um ponto aqui para o deslocamento desta molécula. Foi bastante à esquerda, bastante negativo, portanto. De modo parecido, esta molécula que está nesta posição do eixo x não se deslocou, então, no eixo vertical eu não vou subir nem descer o ponto relativo a ela. O movimento dela está aqui. Para este ponto aqui, que no eixo x está aqui, ele teve bastante deslocamento para a direita, então no sentido positivo do eixo vertical, comparando com este ponto, eu teria a mesma magnitude, só que para cima. Então, o ponto dele estaria aqui. O gráfico que o representaria, então, seria algo como isto. E o que isso é? Isso é uma onda estacionária, é o que você veria. Mas isto é uma fotografia de um certo momento. Estas moléculas se movem, esta molécula que veio bastante para a esquerda depois vai voltar à direita e vai se mover bastante à direita, em torno da sua posição de equilíbrio. O gráfico, se nós pudéssemos fazê-lo variar no tempo, nos permitiria concluir que um pouquinho depois desta fotografia este ponto estaria voltando para a direita, então a posição dele estaria um pouco mais acima, e este, voltando um pouco para a esquerda. A posição dele estaria um pouco mais abaixo aqui. E o gráfico seria algo como isto aqui. Um pouco depois, este ponto aqui estaria na posição de equilíbrio novamente. Todos estariam na posição de equilíbrio. Eu teria então uma linha reta aqui. Um pouco depois, este ponto que passou pela linha de equilíbrio, pela posição de equilíbrio, vai um pouco para a direita. Então ele estaria, por exemplo, aqui. Do mesmo jeito que aquele teria vindo para a esquerda, então ele estaria aqui para baixo e o gráfico seria algo como isto. E depois, esta molécula estaria o máximo possível à direita nestas condições, então, o ponto do deslocamento dela seria este. A mesma coisa desta com relação a estar à esquerda, e o gráfico teria, agora, uma aparência como esta aqui. É isso o que acontece. Este gráfico, entre aspas, dança para cima e para baixo. Este ponto sobe e depois desce. A mesma coisa com este, no sentido contrário. Mas é importante você saber: isso não significa que as moléculas de ar estão movendo-se para cima e para baixo. Elas não fazem isso. Elas se movem para a esquerda e para a direita. Apenas colocamos em uma escala na vertical o quanto elas se movem para a esquerda ou para a direita. Observe que o nó fica sempre no mesmo lugar, não vai para cima nem para baixo. Este ponto aqui recebe o nome de "nó" na onda estacionária e este ponto aqui, da região que se move mais fortemente, é o que chamamos "anti-nó". Do mesmo jeito que este ponto aqui também se chama anti-nó. Então, vamos agora à parte interessante. Como é que representamos isso tudo matematicamente? Deixe-me limpar um pouquinho aqui. Bem, vamos analisar esta onda aqui. Que fração dela nós temos nesta situação? Lembre-se: uma onda, o comprimento de uma onda inteira, começa em um certo lugar e volta até ele, completando o ciclo. Aqui, por exemplo, começando deste ponto que eu teria aqui, x é a posição no tubo, um ciclo completo estaria desenhado aqui. Esta forma que temos aqui corresponde, portanto, à metade da onda. Veja só: temos aqui do ponto mais baixo até o ponto mais alto, do ponto mais baixo até o ponto mais alto. Portanto, temos aqui metade da onda, metade do comprimento de onda. Vamos relacionar isso com o comprimento do tubo. Digamos que ele tenha um comprimento L. Então, aqui nós temos neste desenho, neste gráfico, nós enxergamos que aqui temos metade do comprimento de onda, ou seja, λ sobre 2 equivalente ao L, quer dizer, L, que é o comprimento do tubo, é igual à metade do comprimento da onda, λ sobre 2, o que nos permite concluir que o λ é igual a duas vezes o comprimento do tubo. λ é igual 2L. O λ desta onda, então, é igual a 2 vezes L. Nós chamamos esta de frequência fundamental. Se você soprar um tubo nessas condições, essa é a frequência que você vai ouvir. Entretanto, não é só ela que existe nessa situação. Que outras ondas estacionárias nós podemos obter aqui? Bem, nós sabemos que, simplesmente, os anti-nós são os que oscilam intensamente aqui e aqui. Tendo o anti-nó aqui e outro anti-nó aqui, podemos ter múltiplos nós no meio do tubo, ao invés de um único nó. Por exemplo, aqui nós poderíamos ter algo assim. Teríamos algo assim. Aqui um anti-nó, aqui um anti-nó, e aqui nós teríamos dois nós. Esta aqui é chamada de segunda harmônica. E que fração da onda nós temos aqui? Nós podemos comparar esta onda com o formato de onda, com a forma de onda que temos aqui, e nós vamos enxergar exatamente um ciclo. Então, para a segunda harmônica, o λ é igual ao L. Essa segunda harmônica você, no caso do som, não ouve muito. Mas em termos de frequência, se você analisar, vai ver um pouco dessa frequência aparecendo ali. Nós dizemos, então, que o λ₂, ou seja, o comprimento de onda da segunda harmônica, nesse caso aqui, λ₂ igual a L, para qualquer tubo aberto. Segunda harmônica. E o que mais podemos obter aqui? Bem, anti-nó aqui, anti-nó aqui. Nós poderíamos ter, então, o formato de onda, Algo como isto aqui. E aqui, então, um anti-nó, outro aqui, nós teríamos um, dois, três nós. E nesse caso, o que temos aqui em termos de comprimento de onda? Se você observar aqui, saindo de baixo e indo até o ponto mais alto, depois descendo e chegando novamente aqui, eu tenho um comprimento de onda e aqui eu tenho mais meio comprimento de onda, ou seja, tenho três meios do comprimento de onda. O L, nesse caso, é igual a três meios do λ, ou seja, o λ é igual a 2L sobre 3. Então nós temos aqui o λ₃, que é igual a 2L sobre 3, e é chamada de terceira harmônica. Ela é a terceira onda que pode encaixar aqui, e isso continua, assim por diante. Nós podemos ter a quarta harmônica, escrever a quarta harmônica, quinta harmônica e assim por diante. E você pode observar o padrão: no λ₁, eu tenho 2L sobre 1. No λ₂ eu tenho 2L sobre 2, que é simplesmente L. No λ₃, eu tenho 2L sobre 3. Então, de maneira geral, para qualquer harmônica, o λₙ para a enésima harmônica vai ser igual a 2L sobre n, sendo que n é igual a 1, 2, 3, 4 etc. Se você colocar 1 no lugar do n, o λ é igual a 2L, que é a frequência fundamental. Se você coloca 2 no lugar do n, você tem 2L sobre 2, que simplificando dá L, a segunda harmônica. Se eu colocar n igual a 3, eu vou ter a terceira harmônica. N igual a 4, a quarta harmônica, e assim por diante eu posso ver todos os possíveis comprimentos de onda para todas as harmônicas neste estudo. Estudamos aqui as ondas estacionárias em um tubo aberto, com as duas extremidades abertas. No próximo vídeo, estudaremos com uma das extremidades fechada. Até o próximo vídeo!