a resposta sempre tem de estar na forma a+bI, quando o "I" estiver elevado a alguma potência?

Sim, é possível simplificar a resposta com i^n pra uma forma a+bi.

Não entendi a distributiva de potência feita no desafio 1, na parte que ficou -b²i². Afinal de contas, bi não é uma coisa só? Ou b é uma coisa e i é outra? Agora confundi tudo...

Nesse caso temos a diferença de 2 quadrados (a+b)(a-b) = a² - b² no caso temos (a−bi)(a+bi) que fica a² - (bi)² // propriedade das potências <=> a - b²i² // i² está multiplicando o -b² <=> a - b² * -1 // i² é igual a -1 <=> a+b² // multiplicar por -1 é inverter o sinal ---- o b é como se fosse o coeficiente da unidade imaginária, se temos 5i, temos 5 unidades imáginarias, é como escrever um numero real por exemplo, 35, se por acaso chamarmos uma unidade real de u: u = 1, então 35u significa que temos 35 unidades reais, com i é a mesma coisa, só que no caso são unidades imaginarias

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Curso: Álgebra intermediária (parte 2) > Unidade 2

Lição 5: Multiplicação de números complexos

Multiplicação de números complexos

Google Sala de Aula

Aprenda a multiplicar dois números complexos. Por exemplo, multiplique (1+2i)⋅(3+i).

Um número complexo é qualquer número que pode ser escrito como

a + b i

, sendo

i

a unidade imaginária e

a

b

os números reais.

Quando multiplicamos números complexos, é importante lembrar que as propriedades que usamos quando fazemos cálculos aritméticos com números reais funcionam de forma semelhante para números complexos.

Às vezes, pensar em

i

como uma variável, como

x

, é útil. Então, com apenas alguns ajustes no final, podemos multiplicar como esperávamos. Vamos analisar isso de perto por meio de vários exemplos.

Multiplicação de um número real por um número complexo

Exemplo

Multiplique

- 4 (13 + 5 i)

. Escreva o número resultante na forma

a + b i

Solução

Se seu instinto lhe diz para distribuir o

- 4

, ele está certo! Vamos fazer isso!

\begin{aligned} - 4 (13 + 5 i) & = - 4 (13) + (- 4) (5 i) \\ = - 52 - 20 i \end{aligned}

É isso! Usamos a propriedade distributiva para multiplicar um número real por um número complexo. Vamos tentar algo um pouco mais complicado.

Multiplicação de um número imaginário puro por um número complexo

Exemplo

Multiplique

2 i (3 - 8 i)

. Escreva o número resultante na forma

a + b i

Solução

Novamente, vamos começar distribuindo

2 i

para cada termo entre parênteses.

\begin{aligned} 2 i (3 - 8 i) & = 2 i (3) - 2 i (8 i) \\ = 6 i - 16 i^{2} \end{aligned}

Nesse ponto, a reposta não está na forma

a + b i

, porque ela contém

i^{2}

Contudo, sabemos que

i^{2} = - 1

. Vamos substituir e ver onde isso nos leva.

\begin{aligned} = 6 i - 16 i^{2} \\ = 6 i - 16 (- 1) \\ = 6 i + 16 \end{aligned}

Usando a propriedade cumulativa, podemos escrever a resposta como

16 + 6 i

, e então temos que

2 i (3 - 8 i) = 16 + 6 i

Teste seu conhecimento

Problema 1

Multiplique $3 (- 2 + 10 i)$ ‍.
Escreva sua resposta na forma $a + b i$ ‍.

Problema 2

Multiplique $- 6 i (5 + 7 i)$ ‍.
Escreva sua resposta na forma $a + b i$ ‍.

Excelente! Agora estamos prontos para avançar ainda mais! O que temos a seguir é o caso mais típico que você vai ver quando o assunto é a multiplicação de números complexos.

Multiplicação de dois números complexos

Exemplo

Multiplique

(1 + 4 i) (5 + i)

. Escreva o número resultante na forma

a + b i

Solução

Nesse exemplo, alguns acham útil pensar em

i

como uma variável.

De fato, o processo de multiplicação desses dois números complexos é muito semelhante ao de multiplicação de dois binômios! Multiplique cada termo do primeiro número por cada termo do segundo número.

\begin{aligned} (1 + 4 i) (5 + i) & = (1) (5) + (1) (i) + (4 i) (5) + (4 i) (i) \\ = 5 + i + 20 i + 4 i^{2} \\ = 5 + 21 i + 4 i^{2} \end{aligned}

Como

i^{2} = - 1

, podemos substituir

i^{2}

por

- 1

para obter a forma

a + b i

desejada.

\begin{aligned} = 5 + 21 i + 4 i^{2} \\ = 5 + 21 i + 4 (- 1) \\ = 5 + 21 i - 4 \\ = 1 + 21 i \end{aligned}

Teste seu conhecimento

Problema 3

Multiplique $(1 + 2 i) (3 + i)$ ‍.
Escreva sua resposta na forma $a + b i$ ‍.

Problema 4

Multiplique $(4 + i) (7 - 3 i)$ ‍.
Escreva sua resposta na forma $a + b i$ ‍.

Problema 5

Multiplique $(2 - i) (2 + i)$ ‍.
Escreva sua resposta na forma $a + b i$ ‍.

Problema 6

Multiplique $(1 + i) (1 + i)$ ‍.
Escreva sua resposta na forma $a + b i$ ‍.

Desafios

Problema 1

Sejam $a$ ‍ e $b$ ‍ números reais. O que é $(a - b i) (a + b i)$ ‍?

Problema 2

Realize a operação indicada e simplifique. $(1 + 3 i)^{2} \cdot (2 + i)$ ‍
Escreva suas respostas na forma $a + b i$ ‍.

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Adriano Correia
Publicado há há 6 anos. Link direto para a postagem “Não entendi a distributiv...” de Adriano Correia
Não entendi a distributiva de potência feita no desafio 1, na parte que ficou -b²i². Afinal de contas, bi não é uma coisa só? Ou b é uma coisa e i é outra? Agora confundi tudo...
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Resposta
- Filipe Calixto
  Publicado há há 5 anos. Link direto para a postagem “Nesse caso temos a difere...” de Filipe Calixto
  Nesse caso temos a diferença de 2 quadrados
  (a+b)(a-b) = a² - b²
  no caso temos (a−bi)(a+bi)
  que fica
  a² - (bi)² // propriedade das potências
  <=>
  a - b²i² // i² está multiplicando o -b²
  <=>
  a - b² * -1 // i² é igual a -1
  <=>
  a+b² // multiplicar por -1 é inverter o sinal
  ----
  o b é como se fosse o coeficiente da unidade imaginária, se temos 5i, temos 5 unidades imáginarias, é como escrever um numero real por exemplo, 35, se por acaso chamarmos uma unidade real de u: u = 1, então 35u significa que temos 35 unidades reais, com i é a mesma coisa, só que no caso são unidades imaginarias
  Botão para a página de cadastro
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Arbex Baiesta
Publicado há há 7 anos. Link direto para a postagem “a resposta sempre tem de ...” de Arbex Baiesta
a resposta sempre tem de estar na forma a+bI, quando o "I" estiver elevado a alguma potência?
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Resposta
- Felipe Franco
  Publicado há há 7 anos. Link direto para a postagem “Sim, é possível simplific...” de Felipe Franco
  Sim, é possível simplificar a resposta com i^n pra uma forma a+bi.
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Camila Pires
Publicado há há 3 anos. Link direto para a postagem “se for (bi)(bi) estaria c...” de Camila Pires
se for (bi)(bi) estaria correto por bi²? Ou tem que ser exatamente do jeito que está no exercício?
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