Fatoração com divisão de polinômios

RKA2MP - Fala, galera do Khan Academy! Dando continuação no assunto de divisão polinomial, neste vídeo, nós vamos usar a divisão para conseguir fatorar um polinômio. Para isso, nós vamos utilizar o seguinte exercício: O polinômio p(x), que é 4x³ + 19x² + 19x - 6, tem um fator conhecido, que é (x + 2). Reescreva p(x) como um produto de fatores lineares. Neste momento, eu peço que você pause o vídeo e tente resolver este exercício por conta própria. Pronto? Vamos lá, então. Se o exercício não tivesse dado um fator conhecido deste polinômio, seria bem difícil de realizar essa fatoração. Mas, como já sabemos esse fator, podemos simplesmente dividir (x + 2) no polinômio e checar qual é o resto da divisão e checar novamente se existe um fator para este resto. Vamos, então, realizar a divisão deste polinômio. Teremos x + 2, que divide 4x³ + 19x² + 19x - 6. E, como sempre, olhamos primeiro para o termo de maior grau. E nos fazemos a seguinte pergunta: "x" cabe dentro de 4x³ quantas vezes? São, aqui, 4x² vezes, digamos assim. Iremos pôr este 4x² aqui em cima, na coluna do grau 2. Agora nós calculamos o resto, multiplicando o 4x² pelo (x + 2). 4x² vezes "x" é 4x³ e 4x² vezes 2 é 8x². Agora nós subtraímos do nosso polinômio original. Zeramos este primeiro termo, ele é cancelado, e ficamos com 11x². Trazemos lá de cima o termo que está à direita, e agora, quantas vezes "x" cabe em 11x²? São 11x vezes, que nós vamos colocar aqui em cima, na coluna do grau 1. E, calculando o resto, ficamos com 11x vezes "x", que é 11x², e 11x vezes 2, que é 22x. Subtraímos novamente, ficamos apenas com -3x e trazemos o -6 da expressão original aqui de cima. "x" cabe -3 vezes dentro de -3x. Então, iremos pôr o 3 aqui em cima e, calculando o resto, teremos: -3 vezes "x", que é -3x, e -3 vezes 2, que é -6. Podemos observar aqui que estes quatro termos se cancelam. Então, o nosso resto é zero. E agora, nós já podemos reescrever o nosso polinômio na forma fatorada, que é (x + 2) vezes (4x² + 11x - 3). Porém, nós ainda não terminamos este exercício aqui, já que nós não escrevemos o polinômio como um produto de fatores lineares, como você pode ver ali que o exercício pede, já que (x + 2) é, de fato, linear, mas esta segunda expressão é quadrática. Então, o que nós temos que fazer agora é fatorar novamente esta expressão que achamos através da divisão de polinômios. Existem algumas maneiras para fatorar esta expressão. Podemos tentar resolver esta equação, ou podemos também fazer uma fatoração por agrupamento. E é justamente essa que vamos utilizar, a fatoração por agrupamento. E uma ótima pista de que a fatoração por agrupamento é mais fácil é que o fator que acompanha o x² não é 1. Ele é diferente de 1. Então, aqui nós temos que pensar em dois números cujo produto é igual a -12. E, caso você não esteja familiarizado com essa fatoração que eu estou fazendo, sugiro que você procure aqui no Khan Academy por fatoração por agrupamento e os outros métodos de fatoração. Continuando aqui: dois números cujo produto é igual a -12. Então, "a" vezes "b" = -12. Já a soma desses números tem que ser 11. Então, a + b = 11. Podemos resolver este sistema pelo método da substituição, mas neste caso a resposta não está difícil, já que sabemos, por este produto, que são dois números de sinais opostos. Então, nós teremos aqui: a = -1 e b = 12. Agora, o que nós queremos fazer é pegar este termo de grau 1, o 11x, e transformá-lo em 12 - 1x. Lembrando que neste momento estamos trabalhando apenas esta função quadrática, esquecendo do (x + 2) por um momento. Então, vamos reescrever o polinômio como: 4x² + 12x - 1x - 3. A partir daqui, podemos encontrar termos comuns e realizar a fatoração. Nestes dois primeiros termos, teremos 4x que multiplica (x + 3) e, nos dois últimos termos, teremos -1 que multiplica (x + 3). Agora nós podemos pôr este (x + 3) em evidência e o que nos resta é (x + 3) vezes (4x - 1). E agora nós podemos, de fato, dar a resposta que o exercício nos pediu. Então, teremos: p(x) = (x + 2) vezes (x + 3) vezes (4x - 1). Neste vídeo, nós aprendemos como a divisão polinomial, junto com técnicas de fatoração que aprendemos lá atrás, é super útil quando queremos fatorar polinômios aparentemente complexos e difíceis. Então, é isso, galera. Nós nos vemos aqui pelo Khan Academy!