Otimização: soma de quadrados

RKA8JV - Olá! Neste vídeo, estou fazendo uma pergunta. Qual é a menor soma possível dos quadrados de dois números se o seu produto é -16? Ok, normalmente, quando temos uma soma, a soma entre dois números vai ser "x + y", certo? Só que aqui nós queremos saber a soma dos quadrados desses dois números. Então, esta soma vai ser igual a x² + y², certo? Então o que nós queremos saber é qual é a menor soma possível, o menor valor aqui nesta soma, o menor valor para esta soma, que seja possível. Outra informação que este enunciado nos deu é que o produto entre esse "x" e "y", entre os dois números, é igual a -16. Nós temos aqui, "x" vezes "y", e que isso é igual a -16. Algo interessante para a gente fazer aqui nesta soma, é que se a gente quer a menor soma possível, a gente tem que fazer um processo de minimização, ou seja, a gente precisa minimizar esta soma. Para minimizar esta soma, a gente precisa calcular a derivada desta soma. No entanto, nós temos estas duas variáveis, "x" e "y". Seria interessante, a partir desta relação aqui, colocar apenas em função de uma variável. A gente pode colocar em termos de "x" ou colocar em termos de "y". No meu caso, eu prefiro colocar tudo em termos de "x". Então, a gente vai substituir este "y" aqui por algo que esteja em função de ''x". Como fazer isso? Aproveitar esta relação que a gente já tem aqui. Se "x vezes y" = -16, eu posso afirmar que "y = -16/x". Então, se eu sei que "y = -16/x", eu posso substituir aqui no lugar deste "y" aqui na soma. Então, nós vamos ter que a soma vai ser igual a x² + y², só que "y = -16/x". Então a gente tem (-16/x)². Claro, que agora nós temos uma função de "x", então, esta soma vai ser uma função em "x", certo, em que isto é igual a x² mais, -16² = 256, sobre x². Só que como a gente tem aqui esse "x" no denominador, a gente pode colocá-lo aqui em cima multiplicando, trocando o sinal do expoente, então, a gente vai ter x⁻². Então, agora nós já temos uma soma em função de "x", em função da variável "x". Como nós estamos querendo minimizar, a gente precisa calcular a derivada desta função. Calculando a derivada desta função, a gente vai encontrar os pontos de máximo e mínimo. A partir desta derivada, a gente consegue encontrar os pontos críticos. Tendo os pontos críticos em mãos, a gente consegue saber se esses pontos são pontos de máximo ou mínimo, e a partir dessa informação, a gente consegue determinar a menor soma possível para esses dois quadrados. Então vamos fazer isso, vamos inicialmente calcular a derivada para esta função. Então, a derivada para esta função soma, ou seja, S'(x) é igual à derivada de x², que é igual a 2x. 256 é constante, certo? Vamos derivar o x⁻². O x⁻² vai ser igual a -2 vezes 256, e 2 vezes 256 = 512. Então, nós temos aqui, -512 vezes x⁻²⁻¹, que é igual a -3. Ok, agora que calculamos a derivada, nós podemos determinar os pontos críticos. Mas antes de fazer isso, a gente precisa ver se tem algum ponto que tenha uma indeterminação. Como vimos aqui, y = -16/x, certo? Então, não podemos ter um "x = 0", porque senão vamos encontrar um valor indeterminado, ou seja, "y'' é indeterminado aqui. Então, neste domínio, não podemos ter um "x = 0". Para a gente agora saber os pontos críticos em que o "x" não seja igual a zero, afinal, este é um ponto de indeterminação, então, não pode ser um ponto crítico, nós vamos igualar esta derivada aqui com o zero, ou seja, a derivada sendo igual a zero. A derivada é igual a 2x - 512 vezes x⁻³, isso igual a zero. Ok, você poderia dizer: olha, para "x" igual a zero, a gente vai ter uma derivada igual a zero. Certo. Só que como eu disse, o "x" é um ponto que dá uma indeterminação, então, nós não podemos ter o zero como ponto crítico. Vamos escolher outro ou outros pontos que não sejam iguais a zero. Trabalhando nesta expressão aqui, a gente vai ter 2x sendo igual a 512 vezes x⁻³. Eu posso agora multiplicar por x³ em ambos os lados desta igualdade para eliminar este "x" aqui. Então vamos fazer isso, vamos multiplicar por x³ aqui desse lado e também aqui deste lado. Assim, a gente vai ter, do lado direito, 2 vezes x⁴, e deste lado, a gente vai te x⁻³ vezes x³. A gente acaba anulando estes dois aqui, ficando apenas com 512. Dividindo os dois lados por 2, a gente tem do lado esquerdo x⁴, e do lado direito, 512/12 é 256. Para encontrar o nosso ponto crítico agora, como a gente tem um x⁴, a gente pode tirar raiz quadrada dos dois lados. √x⁴ = x², e √256 = 16. A mesma coisa a gente pode fazer aqui, tirar a raiz quadrada de x². √x² = x, e √16 = 4. Bem, o 4 é o nosso ponto crítico. Como se trata do nosso único ponto crítico, possivelmente, é o número que nós encontramos esta menor soma possível. Mas vamos testar aqui e ver se realmente esse é um ponto de mínimo. Mas para saber realmente se este "x = 4" é um valor de mínimo, nós podemos fazer um teste utilizando a segunda derivada. Vamos fazer isso. A segunda derivada, S"(x) é igual, basta derivar isto aqui novamente, a derivada de 2x é igual a 2. 512 vezes x⁻³, a gente joga esse -3 aqui para frente, menos vezes menos, a gente fica com mais, então, a gente vai ter um número positivo, e 3 vezes 512 = 1536, vezes x⁻³⁻¹, -que é -4. Ok, então nós temos aqui a segunda derivada. Se você observar bem aqui, independentemente do valor de "x" que a gente colocar, a gente sempre vai obter um valor positivo. Então, isso aqui é positivo em todo o domínio. Se a gente fizer o gráfico da nossa função, algo mais ou menos parecido com isto aqui, a gente vai observar que se a gente pegar este ponto, a gente vai ter uma certa inclinação. Se pegar esse outro ponto, ele vai ficando menos negativo. Se pegar nesse ponto, ele fica menos negativo. Se pegar aqui embaixo, ele fica horizontal. Se pegar aqui, ele se torna mais positivo, aqui mais positivo e a aqui, mais positivo. Ou seja, a gente vai ter uma inclinação se tornando cada vez mais positiva. Então, como a segunda derivada sempre vai dar um valor positivo, independentemente do ponto, a gente vai ter, em todo o domínio, uma concavidade voltada para cima. Então, para esta função, a gente vai ter uma concavidade voltada para cima. E o que seria este "x = 4" aqui? Este "x = 4" é o ponto em que a derivada é igual a zero, e a derivada é igual a zero no ponto em que a inclinação é nula, ou seja, nesse ponto aqui embaixo, em que a gente tem uma reta tangente sendo horizontal. Então, este ponto aqui só pode ser o ponto de mínimo. Agora que encontramos o "x", nós podemos encontrar o "y", certo? Quer dizer, na verdade nem precisamos, porque aqui a gente já tem algo em função de "x". Mas vamos encontrar aqui o "y" de qualquer forma. "y = -16/x", certo? Então substituindo este "x" aqui, nós vamos ter um "y'' sendo igual a -16/4, que é igual a -4. Agora que a gente já encontrou o "x" e o "y", nós podemos encontrar qual é a menor soma possível. Então essa menor soma possível vai ser "S" sendo igual a x², 4² =16, mais y². -4² também é 16, e 16 + 16 é igual a 32. Então o que nós fizemos foi encontrar a derivada, os possíveis pontos de indeterminação, a partir daí, nós encontramos os valores, os pontos críticos, isso quando a derivada é igual a zero, determinamos a segunda derivada para saber se a concavidade era voltada para cima antes ou depois desse número crítico. Como o nosso número crítico aqui foi igual a 4, a gente viu que antes do 4 nós tínhamos uma derivada se tornando cada vez menos negativa, e depois do 4, se tornando cada vez mais positiva. Assim, tanto antes do 4 quanto depois do 4, a gente tinha uma concavidade voltada para cima. Como a concavidade dos dois lados estava voltada para cima, o 4 era um ponto de mínimo. A partir desse ponto que a gente soube que o 4 era um ponto de mínimo, nós encontramos o valor de "y", realizamos a soma e encontramos a menor soma possível. Mas aí você pode dizer para mim: olha, eu poderia ter feito isso testando números. Eu poderia colocar aqui, -1 vezes 2, -1 vezes 3, -1 vezes 4, se não desse, a gente ia substituindo os "x" e os "y" até encontrar algo igual a -16. Seria inclusive até muito fácil fazer isso, no entanto, neste problema nós tivemos um valor inteiro, então, isso facilita a dedução. Só que por mais que você tentasse aqui números inteiros, você não estaria tentando por exemplo o 4,1 ou 4,0001. Ou seja, você não estaria tentando todos os números do conjunto dos números reais. Então, vamos supor que ao invés de -16, você tivesse -17, ou quem sabe, -16,5. Seria bem mais difícil fazer isso, não é? Então todas as vezes que você tiver números em que não dê para ir testando, o ideal é utilizar esse processo que eu mostrei aqui neste vídeo.