A proporção áurea

RKA - Meu objetivo nesse vídeo é ver se tem um pouco de barbante, ou uma reta, ou um segmento de reta como esse de comprimento "b", será que consigo um segmento de medida "a", tal que a razão "a/b" seja equivalente à razão da soma de "a" com "b" sobre o comprimento, o lado mais longo, no caso "a"? Vai ser igual à razão "a + b" para "a". Então, vamos pensar. Quero ver se consigo construir um "a" que esteja nesta razão, nessa proporção perfeita da qual estou falando, para que a razão do maior lado sobre o menor seja igual à razão do total sobre o maior. Vamos assumir que seja possível achar esta razão e vamos chamar da letra grega "φ'' (Phi). Vamos usar a letra grega ''φ'' para representar esta razão, e ver o que a gente consegue descobrir dessa razão especial. Se "φ = a/b", que é igual "(a + b)/a", a gente sabe que "(a + b)/a = a/a + b/a". "a sobre a" é 1. "b/a" é o inverso dessa afirmação aqui. "b/a"... isso é "φ". "b/a" é "1/φ". Isto é "1/φ". Agora, as coisas ficam interessantes. Estabelecemos um número que chamamos dessa razão especial: "φ = 1 + (1/φ)". E essa é uma afirmação bem interessante. Primeiro, se subtrair 1 dos dois lados, chega em "φ - 1" igual ao seu inverso. Essa parece ser uma propriedade bem divertida de qualquer número. Se subtraio 1 dele, chego no seu inverso multiplicativo. E isso, por si, só já é intrigante. Mas essa afirmação também é interessante porque definimos ''φ" como sendo "1 + (1/φ)". Dá para pensar nele dessa forma. A gente pode dizer que "φ = 1 + (1/φ)". Em vez de escrever "φ", estamos dizendo: bom, "φ" é só 1 sobre 1 mais... ao invés de dizer "φ", eu poderia falar isso é simplesmente 1 mais 1 sobre... dá para escrever "φ" de novo, ou só continuar. Poderia continuar para sempre, eu poderia dizer que 1 sobre 1 sobre..." e continuar escrevendo assim para sempre. A gente chama isso de "definição recursiva de uma função", ou "definição recursiva de uma variável", onde ela é definida em função de si mesma. E já é interessante por si só, mas queremos ir um pouco mais fundo. A gente quer entender exatamente o que é "φ", qual é o valor de "φ" (esse número estranho, essa razão esquisita que estamos apenas começando a explorar). Vamos ver se conseguimos transformar numa equação de segundo grau que possa resolver usando métodos convencionais. O jeito mais fácil é multiplicar os dois lados da equação por "φ", o que dá "φ²". Vou escrever diferente. "φ² = φ + 1"... e vou discutir uma coisa diferente. Isso também vai ser interessante, pois, se a gente pegar a raiz quadrada dos dois lados disso, você chega... (vou descer um pouco)... chega em "φ" é igual à raiz quadrada de... vou só mudar a ordem... à raiz quadrada de "1 + φ". E, de novo, chegamos numa definição recursiva, "φ" é igual à raiz quadrada de "1 + φ". Dá para escrever ali (opa!). "φ" é igual à raiz quadrada de 1 mais a raiz quadrada de 1 mais... e podia completar com "φ", mas como "φ" é igual à raiz quadrada de 1 mais a raiz quadrada de 1 mais... podemos continuar para sempre com isso, e é engraçado. É legal. O mesmo número que pode ser expresso dessa forma, o mesmo número que, se eu subtrair 1, chegaria em seu inverso, ele também pode ser expresso com essas raízes quadradas recursivas embaixo uma da outra. É agora que as coisas começam a ficar realmente intrigantes; vamos continuar. Vamos resolver esse número mágico, essa razão mágica da qual estamos falando. Na verdade, é uma ideia muito simples de que a razão do maior para o menor lado é igual à raiz da soma dos dois lados sobre o lado maior. Então, vamos resolver como uma equação de segundo grau tradicional. Vamos isolar tudo do lado esquerdo, vamos subtrair "φ + 1" dos dois lados e vamos chegar em: "φ² - φ - 1 = 0". Dá para resolver para "φ" usando a fórmula de Bhaskara, que provamos em outros vídeos. Dá para provar completando o quadrado, mas, se for pela fórmula de Bhaskara, devemos reconhecer os coeficientes "a", "b'' e "c". "a" é igual a 1 (esse é o coeficiente dessa expressão). "b" é igual a -1 (é o coeficiente dessa expressão). "c" é igual a -1 (este é o coeficiente, ou, na verdade, é aquela expressão ali). Então, as soluções para isso... "φ"... e só queremos a solução positiva, porque estamos falando de algo positivo... quando voltamos para o nosso problema inicial, vamos assumir que essas distâncias são as duas positivas, então só ligamos para a solução positiva. Chegaremos em "φ" é igual a... (em laranja)... "-b"... bom, "-(-1)" é 1... mais ou menos a raiz quadrada de "b²"... "b² é igual a 1... "-4ac". "a" é 1, "c" é -1, -4 vezes -1 é igual a +4. "1 + 4"... sobre 2a... "a" é 1, então tudo isso sobre 2. "φ = 1"; e, de novo, só queremos a solução positiva. Isso vai ser raiz quadrada de 5. Se tem 1 menos a raiz quadrada de 5, vamos chegar num número negativo nesse numerador, mas queremos só a solução positiva. 1 mais raiz quadrada de 5 sobre 2, esse parece ser um número bem interessante. Vamos pegar a calculadora e ver se conseguimos chegar nesse número mágico "φ" com algumas casas decimais. Vou pegar a calculadora. Vamos ver onde chegamos. E você já deve saber que a raiz quadrada de 5 é um número irracional, o número todo vai ser irracional. Vou provar, tudo em outro vídeo, que ele não tem repetições, ele continua para sempre. Mas vamos ver aonde conseguimos chegar. É 1 mais a raiz quadrada de 5 dividido 2, que vai ser "1,6180339". Vamos guardar esse número (vou escrever aqui). E é aqui que as coisas começam a ficar realmente intrigantes e misteriosas. Tem o número "1,618033988" e ele continua para sempre, sem nunca terminar ou repetir as casas decimais. Por si só, esse número já é legal. Isso acontece porque essa razão tem um monte de propriedades divertidas que parecem bem loucas, independente de como expressá-las. Mas o mais legal é se a gente voltar naquilo ali. Quanto vai ser "1/φ"? "1/φ", que, às vezes, chamamos de "φ" maiúsculo... A gente sabe que "1/φ = φ - 1''. Dá para fazer de cabeça, "1/φ" vai ser "0,618033988"... sei lá... acho muito estranho que o inverso de um número seja, na verdade, só as casas decimais depois que subtrai 1. Se pensar a respeito, é muito louco. Mas é mais louco ainda porque esse número aparece em um monte de lugares diferentes, e, como pode imaginar lendo o título do vídeo, esse "φ" que discutimos é a chamada "proporção áurea". Essa razão aparece em toda parte. Ela aparece na arte, na música, na natureza. E como exemplo de onde ela aparece na natureza, ela aparece em ideias muito puras. Se eu desenho uma estrela perfeita, se eu desenhar uma estrela normal assim (vou desenhar assim, bem aqui). Essa é uma estrela normal, todos os comprimentos são iguais (bom, melhor eu desenhar com mais cuidado, né?). Se eu desenhar uma estrela assim (que, às vezes, é chamada de pentagrama), vamos ver algumas coisas incríveis rolando nela. A razão deste lado rosa para esta parte azul é igual à proporção áurea. A razão do magenta para o rosa é a proporção áurea. Claro, por definição. Agora, o magenta para o laranja também é a proporção áurea. Ela aparece de um monte de formas se considerar as partes de um pentagrama. Agora, se olhar um pentágono, um pentágono regular onde todos os lados e ângulos são iguais... um pentágono regular... se pegar qualquer uma das diagonais de um pentágono regular... então, bem aqui, se pegar essa diagonal, a razão desse lado verde para... e eu estou falando de diagonais, não as que são bordas... a razão das diagonais para qualquer dos lados é, de novo, a proporção áurea. E aparece em um monte de outras coisas e lugares. Ela pode ser usada de formas bem interessantes. Digamos que a gente tenha um retângulo onde a razão entre a largura para a altura é a proporção áurea. Vamos desenhar. Esta é a altura, esta é a largura. E a razão... isso vai ser "a" e isto "b"... a razão "a" para "b" é "φ". Aquele "1,61 etc." (eu vou descer um pouco). Isso é igual a "φ". Olha que interessante o que podemos fazer. Esse é um retângulo bonitão. Vamos desenhar um quadrado aqui. Separando para limitar um quadrado de "b" por "b". Esse é um quadrado "b" por "b". Deixa eu desenhar um pouco diferente. Ah, esse retângulo não saiu exatamente como eu queria. A razão seria mais ou menos assim. A razão da largura para o comprimento ou da largura para a altura é a proporção áurea. "a/b'' é igual à proporção áurea. E vou separar um quadrado de "b" por "b" aqui. Esse lado é "b" também, e essa distância aqui vai ser "a - b''. É um quadrado de "b" por "a - b'', que, na verdade, é só quadrado "b" por "b''. E nos sobrou um retângulo de "b" por "a - b". Não seria legal se essa razão também fosse a proporção áurea? Então, vamos calcular (achar a razão de "b" para "a - b"). Isto vai ser 1 sobre a razão de "(a - b)/b''. Eu apenas tomei a recíproca desse aqui, e isso vai ser igual a 1 sobre "(a/b) - 1" Vou escrever 1 sobre "(a/b) - 1" (escrevi ali). E isso vai ser 1 sobre "φ"... a razão de "a/b", como definimos, é "φ"... menos 1. E o que mais era "φ - 1"? "φ - 1 = 1/φ". Esse número é tão legal, ele é igual a 1 sobre 1 sobre 1 sobre "φ"; que, de novo, é igual a "φ". De novo, a razão desse retângulo menor, da sua altura para a sua largura, é novamente a proporção áurea, esse número que não para de aparecer. E a gente pode fazer a mesma coisa de novo. Dá para separar isso num quadrado de lado "a - b" por "a - b". Isso nos dá outro retângulo de ouro, como ele é chamado, e podemos separar em outro quadrado e outro retângulo de ouro, e separar em outro quadrado e outro retângulo de ouro. Mais um. Vou desenhar assim; vai ficar melhor. Vou separar aqui, fazer o quadrado. Este é um quadrado de "a - b" por "a - b'', e tem outro retângulo de ouro aqui. Posso colocar outro quadrado aqui e, de novo, outro retângulo de ouro aparece, e outro quadrado e outro retângulo de ouro. Eu acho que ficou claro o que vai acontecer, né? Outro quadrado, outro retângulo de ouro e cria um padrão legal que podemos levar para dentro. Aliás, se eu desenhar um arco aqui, acontece uma coisa bem legal. Se desenharmos esse arco, a gente vai chegar numa figura que você conhece muito bem. Esse padrão não é muito diferente daquele que achamos em caracóis. Ele aparece em um monte de outras coisas na natureza, o que faz sentido, pois é assim que células são construídas. Faz sentido que sejam iguais em escalas diferentes, e a razão de uma escala para a outra é possivelmente a mesma que a das razões que as constituem. Essa aparece em vários dos quadros de Leonardo da Vinci. Ele nunca chegou a comentar a respeito, mas há um monte de proporções interessantes neles. E Salvador Dalí, naquele quadro, o "Sacramento da Santa Ceia", explicita que usou a proporção áurea. Então, a razão da largura para a altura é a proporção áurea; daí, este é um retângulo de ouro. E também tem um monte de proporções; então, eu te convido a explorá-las. A proporção com as partes diferentes da mesa em relação a onde elas estão no quadro. A proporção áurea aparece no quadro todo, e ele pintou aqueles pentágonos ali. Sabemos qual é a razão das diagonais do pentágono para os lados do pentágono. Ele achou que era bem legal. Tem um monte de outras coisas divertidas ali. Se pegar esses dois caras se curvando e traçar uma reta, chega na proporção áurea. A razão desta parte para aquela ali, de novo, a proporção áurea. Ela aparece no quadro todo, esse é um conceito muito, muito, muito legal. Recomendo que pesquise mais a respeito porque é bem interessante.