Exemplo resolvido: problema de modelo logístico

RKA3JV - E aí, pessoal. Tudo bem? Nesta aula, nós vamos resolver um exercício de modelo logístico. E, para isso, nós temos o seguinte aqui: A população P(t) de bactérias em uma placa de petróleo satisfaz a equação diferencial logística dP/dt igual a 2P vezes (6 - p /8000) onde "t" é medido em horas e a população inicial é de 700 de bactérias. Qual é a capacidade de suporte da população? E qual é o tamanho da população quando está crescendo mais rápido? E, claro, eu sugiro que você pause o vídeo e tente resolver isto sozinho. Inicialmente, vamos relembrar o que é equação diferencial logística e o que é capacidade de suporte. Uma equação diferencial logística é aquela na qual vemos a taxa de mudança de variação da nossa população em relação ao tempo que é proporcional ao produto da população. E pela diferença entre a capacidade de suporte e a população. E este é o modelo que você vê bastante, porque ele é bem útil para estudar coisas como, por exemplo, populações. E quando a população é pequena, o ambiente realmente não está limitando-a. E assumindo que nós começamos com o valor inicial, esta população vai crescendo, e se essa capacidade de suporte for maior do que a população, significa que a taxa de mudança vai aumentar. Deixe-me colocar isto aqui em um gráfico. Deixe-me colocar o plano cartesiano. E eu vou mostrar uma solução típica de uma equação diferencial logística. E nós temos aqui o tempo e a população que depende deste tempo, está em função deste tempo. Então, quando a nossa população começa, vamos dizer que esta população seja diferente de zero. Isso porque se a população for zero, isto aqui tudo vai dar zero. E aí, a nossa taxa de mudança vai ser zero. Isso significa que a nossa população nunca iria crescer. Isso faz sentido, não é? Por exemplo, se você não tem coelhos em uma ilha, esta população de coelhos nunca vai crescer, por isso é necessário que você tenha uma população inicial mesmo que esta população seja bem pequena. Então, por exemplo, se você tem uma população inicial de coelhos, esta população vai começar a crescer conforme isto aqui cresce. E aí, vai continuar crescendo e crescendo. Mas em algum ponto, esta capacidade vai chegar ao seu limite. E aí, este ambiente vai limitar a quantidade de coelhos que podem crescer. Mas por que isso? Simples, toda vez que a população se aproximar deste ambiente, esta diferença vai se aproximar de zero. Isso significa que a variação vai ser cada vez e cada vez menor. Portanto, o limite vai ser quando "P" fica muito próximo de "a". Ou seja, conforme o "t" se aproxima do infinito, a variação vai se aproximando de zero. E, com isso, a nossa população será responsável pela capacidade de suporte. Portanto, este "a" é a capacidade de suporte. E existem algumas maneiras de responder esta primeira pergunta. A primeira é que podemos colocar a nossa equação diferencial logística nesta forma. E aí, conseguiríamos reconhecer a capacidade de suporte. E uma outra maneira é pensar no que acontece à medida que "t" se aproxima do infinito, isto aqui vai se aproximar de zero. Portanto, podemos pensar em quais valores de "P" tornaria esta equação igual a zero. Ok, vamos fazer das duas maneiras? Se você perceber, esta parte já é parecida com esta. A diferença é que o "P" está sendo dividido por 8 mil. E o que podemos fazer? Simples, podemos multiplicar esta parte por 8 mil e dividir essa aqui por 8 mil. Com isso, o valor da equação não será alterado. E aí, vamos ficar com dP/dt = P/4000. Já que dividimos isto aqui por 8 mil e tem este 2P aqui. Por isso, simplificamos e ficamos com 4 mil. E multiplicamos tudo isto aqui por 8 mil. E aplicando a distributiva, 8 mil vezes 6 vai dar 48.000 - P. Conseguimos escrever desta forma. E se compararmos, podemos ver que a capacidade de suporte é igual a 48 mil. Então, 48 mil bactérias. Este "a" aqui é igual a 48 mil. Agora, do outro jeito. O que temos que fazer? Simples, à medida que o "t" se aproxima do infinito, isto aqui se aproxima de zero. Então, quando isto se aproxima de zero, o "P" se aproxima de quê? Então, 0 = 2p que multiplica 6 - P/8000. E o que nós temos agora é uma equação que devemos resolver. E se duas coisas estão se multiplicando e o resultado está dando zero, uma delas tem que ser zero. Então, ou 2p = 0, o que significa que a população é igual a zero ou, então, isto aqui é igual a zero. E podemos resolver aqui ao lado colocando 6 - P/8000 = 0. E se subtrairmos ambos os membros da equação por 6, e já multiplicarmos por -1, vamos ficar com P/8000 = 6. E se multiplicarmos ambos os membros desta equação por 8 mil, vamos ficar com P = 48.000, que é a mesma coisa da nossa capacidade de população. Agora, vamos responder a segunda pergunta? Qual é o tamanho da população quando está crescendo mais rápido? O que isso significa? Veja bem, a população vai começar crescendo, crescendo e, de repente, a taxa de mudança vai começar a diminuir. Mas tem um momento que a sua taxa de mudança está crescendo mais rápido. Mas que ponto exatamente é este? O que você pode fazer é voltar para esta equação diferencial logística, esta taxa de mudança de variação é uma função da nossa população. Se você multiplicar estas duas coisas, você vai ter uma expressão quadrática. O que significa que o gráfico desta taxa de variação é uma parábola com concavidade para baixo. Por exemplo, se eu desenhar uma função de dP/dt em relação à população. Inicialmente, nós temos uma população inicial e conforme o tempo vai passando, a sua taxa de variação vai aumentando. Mas chega um momento que ela começa a diminuir, vai diminuindo e se aproxima de zero. Isso significa que a população está se aproximando da capacidade de suporte. Por exemplo, aqui teríamos a nossa capacidade de suporte. E o que significa este ponto máximo? Existem algumas maneiras de pensar nele. Podemos pensar em termos de cálculo, em termos de álgebra, tem muitas maneiras de identificar este ponto máximo. Observe que o vértice está no meio das raízes desta função quadrática. Então, devemos encontrar as raízes desta equação. E nós já fizemos isso aqui. O vértice vai ficar entre estas duas raízes. Ou seja, quando a população é zero, e a nossa população é igual a 48 mil, que é a nossa própria capacidade de suporte. Portanto, o vértice, a média aritmética destas raízes que é a mesma coisa que zero mais 48.000/2, que é igual a 24 mil. Portanto, o tamanho da população quando está crescendo mais rápido é de 24 mil. Basicamente, nós devemos achar o vértice desta função aqui. E este é um exercício que pode parecer até difícil, mas se você reconhecer uma equação logística e sua fórmula, você vai ver que não é nada complicado. Claro, isto aqui é uma equação diferencial. Mas você também pode vê-la como uma função da nossa população. E, lembre-se, este "a" é a capacidade de suporte. E conforme o tempo se aproxima do infinito, esta taxa de variação vai se aproximando de zero. Eu espero que esta aula tenha lhes ajudado. E até a próxima, pessoal!