Coordenadas com relação a uma base

RKA2G - Vamos admitir que "v" é um subespaço de Rⁿ. E, em "v", temos uma base B composta pelos vetores V₁, V₂, e assim sucessivamente até o Vₖ. É uma base, então, com dimensão "k", subconjunto de "v", o espaço que está em Rⁿ. Isso significa que, se eu tiver um vetor "a" em "v", então, o vetor "a" é uma combinação linear dos vetores da base B. Ou seja, é uma constante 1 multiplicando v₁, mais uma constante real 2 multiplicando v₂ e assim sucessivamente até a constante "k" multiplicando vₖ. As constantes c₁, c₂, c₃, até cₖ são chamadas de coordenadas do vetor "a" em respeito à base B. Esta é a definição que nós temos para coordenadas de um vetor em um subespaço vetorial. O vetor "a" pode, então, ser representado assim, entre colchetes, e as suas coordenadas aqui, c₁, c₂, cₖ, em respeito à base B. Nós indicamos aqui o B para dizer que estamos representando o vetor "a" com as coordenadas c₁, c₂, cₖ na base B. Aqui, vale observar que, na base B, nós temos "k" vetores e "k" pode ser tão grande quanto "n", ou seja, ter o mesmo tamanho de n, mas também pode ser algo menor. Por exemplo, em R³, nós poderemos ter uma base de apenas dois vetores . Seria um plano em R³. Observe, nesta situação, que o "a" é um vetor, mas, em respeito à base B, eu só preciso de "k" vetores para representá-lo. Vamos interpretar isto um pouco melhor com alguns exemplos. Vamos considerar um subespaço e dois vetores: v₁ = [2, 1] e v₂ = [1, 2]. Vamos definir a base B, o conjunto que define a base B, justamente por v₁ e v₂. Note que essa base B é uma base para R². R² tem duas dimensões. Quer dizer, qualquer vetor de R² pode ser escrito em termos de v₁ e v₂. Nós temos aqui, então, uma base composta por dois vetores da base. E esses dois vetores são linearmente independentes. Você pode checar isto. Vamos localizar graficamente esses dois vetores. Aqui teria o eixo vertical, aqui, o eixo horizontal. Nós teríamos aqui para o [2, 1], vamos ver aqui. 1, 2, aqui 1, 2, 2, 1 e 1, aqui o 2. [2, 1] seria este vetor. E o [1, 2], vamos marcá-lo em azul. Este seria o vetor [1, 2]. Aqui está. Vamos escolher aqui um vetor qualquer em R², que seja uma combinação linear de v₁ com v₂. Vamos escolher, por exemplo, 3 vezes v₁ mais 2 vezes v₂. Isso nos daria um novo vetor aqui, vamos ver. 3v₁ + 2v₂. 3 vezes 2 dá 6, 2 vezes 1 dá 2, 6 + 2 = 8. Depois, aqui: 3 vezes v₁. 3 vezes 1 = 3, mais 2 vezes 2, que é 4. 3 + 4 = 7. Este é o vetor 3v₁ + 2v₂. Vamos representá-lo graficamente do modo tradicional. É o vetor [8, 7]. Temos aqui 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. O ponto que o representa seria este. Este, então, é o vetor 3v₁ + 2v₂. Eu vou retirar a representação do vetor para que nós façamos olhando também para a base B. Lembrando que este ponto é o ponto (8, 7). Vamos dizer que este seja um certo vetor "a". Então, o vetor "a" é igual a [8, 7]. Nós sabemos que "a" é uma combinação linear dos vetores da base, veja: 3 vezes v₁ + 2 vezes v₂. Nós podemos escrever, então, o vetor "a" em respeito à base B, ou na base B. Esse vetor é igual a [3, 2], 3 vezes v₁ + 2 vezes v₂, de acordo com o que nós definimos aqui, sendo v₁ e v₂ vetores da base B. Então, em respeito à base B, em relação à base B ou na base B, o vetor "a" tem as componentes [3, 2]. Para representar graficamente este vetor, com relação à base B, nós temos que levar em consideração que estamos adotando um novo sistema de coordenadas. Veja: A primeira coordenada do vetor "a" vai ser um múltiplo do vetor v₁. Aliás, de qualquer vetor na base B, a primeira coordenada é o múltiplo de v₁. E a segunda coordenada é um múltiplo de v₂. No caso deste exemplo, a primeira coordenada na base B é 3, ou seja, é 3 vezes o vetor v₁. O vetor v₁ é o que está aqui em amarelo. 3 vezes ele, quer dizer, aqui está o vetor v₁. A abcissa dele no sistema cartesiano tradicional que nós usamos era 2. Ao multiplicar por 3 (veja, temos aqui 3v₁), iremos para o 6. Então, 1, 2, 3, 4, 5, 6. Aqui é o 6. E a segunda coordenada do v₁ era 1. Multiplicando por 3, vai ficar 3. Olha só. Então, o 3 da base B é 3 vezes o v₁, que teria, na base "comum" que nós estávamos utilizando, teria abscissa 6 e ordenada 3. Aqui estaria. O que quer dizer que eu tomei este vetor amarelo e multipliquei por 3. Aqui eu tenho ele uma vez, aqui, duas vezes e aqui, três vezes. Isto é o 3v₁. É o 3 da base B. Na base B, a primeira coordenada pertence sempre à reta que passa na direção do vetor v₁. Aqui é 1 vez v₁, aqui são 2 vezes v₁, aqui, 3 vezes v₁, aqui teríamos 4 vezes v₁ e assim por diante. A reta que passa pelo v₁ é um novo eixo da primeira coordenada nesta base B. Melhorei um pouco a reta. Nesta reta aqui, nós temos a primeira coordenada do vetor escrito na base B. No caso do vetor "a", a primeira coordenada é 3. Então, a primeira coordenada dele estaria aqui: 1, 2, 3. Seria esta a primeira coordenada do vetor "a". Da mesma forma, a segunda coordenada envolve múltiplos de v₂. Então, aqui, eu teria que fazer a mesma análise para o vetor v₂. Se eu duplicar o vetor v₂, aqui eu teria duplicado, triplicado... Imagine eu colocando-o na mesma direção, continuando aqui. Eu vou formar uma nova reta, na qual nós teremos a segunda coordenada, o eixo da segunda coordenada, na base B. Nesta reta azul, nós teríamos o eixo da segunda coordenada de qualquer vetor escrito na base B. Aqui seria o 1, o 2, o 3 e assim por diante. No caso do nosso exemplo, a segunda coordenada é 2, que seria esta aqui. Para localizar pontos neste novo sistema de coordenadas em que os eixos são estes dois aqui, eu devo usar a mesma ideia que eu já usava quando trabalhava com os eixos cartesianos tradicionais. Qual é a ideia? Traçar paralelas a um dos eixos, cruzando o outro eixo e vice-versa. E aí então, localizar os pontos. Neste caso, paralelamente ao eixo amarelo, eu traço retas que passam por todos os pontos que eu posso imaginar do eixo azul. Eu vou traçar por onde eu marquei os pontos em branco, que são os números inteiros, que agora serão suficientes para nós. O 1, o 2, o 3, o 4 e assim por diante, lembrando, naturalmente que essas retas são infinitas, então elas estão para cá também. Agora eu faço o mesmo para o outro eixo. São as retas azuis, paralelas ao eixo azul, naturalmente, cruzando o eixo amarelo. Vou usar como referência, novamente, os pontos que eu já marquei paralelamente ao eixo azul. Vamos localizar, então, o ponto que nos dá o extremo do vetor determinado por (3, 2), ou seja, a primeira coordenada é 3 e a segunda coordenada é 2. Para isso, o que eu vou fazer? Primeiro, no eixo amarelo, que é o eixo da primeira coordenada, eu vou localizar o 3. Aqui nós temos o 1, aqui, o 2 aqui o 3. E, no eixo da segunda coordenada, nós vamos precisar localizar o 2. Aqui é o 1 e aqui é o 2. A paralela ao eixo azul que passa pelo 3 deve encontrar a paralela ao eixo amarelo que passa pelo 2 do outro eixo. Seria esta aqui, encontrando esta aqui. Vai encontrar exatamente no ponto (8, 7), que nós já esperávamos. Observe que, aqui, podemos analisar quantos espaços nós fomos em uma direção. Primeiro na direção do eixo amarelo, que é o eixo da primeira coordenada, 3 espaços, porque a primeira coordenada era 3. Depois, 2 espaços no eixo da segunda coordenada. Muito bem. Seguindo, então, as paralelas a cada um dos eixos, onde elas se cruzam, é o extremo do vetor que nós estamos procurando. É por este motivo que nós temos aqui as coordenadas desse vetor na base B, em respeito à base B. Já que estes números se chamam coordenadas em respeito à base B, qual a relação que isso tem com as coordenadas que nós já estávamos habituados a usar antes? Para isso, vamos tomar como exemplo um certo vetor "b" aqui, cujas coordenadas sejam [3, -1], do modo tradicional. Graficamente, nós teríamos representação desse vetor aqui: 3 no eixo horizontal, -1 no eixo vertical seria algo como isto. Este seria o vetor "b". Por que é que nós chamamos o [3, -1] de "coordenadas"? De acordo com a definição mais precisa dada antes, por que nós chamávamos o [3, -1] de "coordenadas"? Porque nós já usávamos uma base para localizar os pontos, para localizar os vetores. Veja só. Vamos usar dois vetores, chamados de e₁ = [1, 0] e o vetor e₂ = [0, 1]. Vamos definir S como um conjunto composto pelos vetores e₁ e e₂. S é o que nós chamamos de base padrão para R². Basta você analisar que o e₁ é 1 na direção horizontal, no eixo horizontal, e o e₂ é 1 na vertical. E todos os vetores de R² são escritos em termos de uma combinação linear do e₁ e do e₂. Um vetor [x, y] qualquer pode ser escrito como "x" multiplicando e₁ mais o "y" multiplicando e₂. Ou seja, se nós quisermos escrever o vetor [x, y] qualquer com respeito à base S dada ali acima, ele vai ser igual ao que nós definimos como coordenadas no início deste vídeo. Ele vai ser igual às coordenadas [x, y]. Ou seja, as coordenadas com as quais nós tradicionalmente já trabalhávamos há muito tempo coincidem, estão de acordo com a definição mais rigorosa de coordenadas daqui, do início do vídeo. O que nós podemos é usar um pouco ainda mais de precisão e dizer que estas coordenadas são coordenadas em relação, ou em respeito, à base padrão. E, naturalmente, estas seriam, então, as coordenadas padrão. Veja que nós não precisamos mencionar isso todas as vezes, mas as coordenadas tais como nós já as conhecíamos anteriormente estão em relação a uma base, chamada base padrão, e fica, tudo isso, uma definição perfeitamente consistente. Até o próximo vídeo!