Determinante quando uma linha é multiplicada por uma escalar

nesse vídeo nós iremos analisar o que acontece quando a gente multiplica uma linha da nossa matriz por um escalar que pode ser o caso do carro scarab arbitrário que a gente mesmo escolhe o que acontece no determinantes dessa matriz então vamos começar aqui como a matriz 2.2 vou fazer aqui é melhor chamar ela de alguma coisa antes boa botar o nome dela como sendo a e agora vou botar ela como sendo a b e c d e e esses temos ainda a matriz e determinante determinante da matriz a então o determinante de a a gente definir os últimos vídeos como sendo a multiplicação da diagonal o produto na diagonal principal então ficaria a de adn e - o produtor diagonal secundária que no caso seria b c ou c b tanto faz e isso daqui é o que a gente chama esse aqui que a gente chama de determinante determinante de a ok e agora vamos supor que eu pegue essa linha daqui essa linha daqui e multiplique por um escalar kaká então eu vou escrever a minha matriz aqui ah eu vou colocar esse a linha que só para diferenciar a nossa primeira matriz e eu vou botar nós temos a ver a nossa primeira linha fica igual e na segunda linha boutaca ser e aqui eu vou botar cá de então eu multipliquei a segunda linha da nossa matriz por um escalar kaká então o segundo a nossa definição de determinantes determinante de ar vai ser igual a multiplicação da diagonal principal produto de alguma principal a vezes cá vezes de ou seja eu posso voltar a ficar na frente e ficaria cá a de adn e isso daqui - cá bc ou no caso posso saber secar mas voltou a ficar na frente o kaká bc cá desse cabeça nessa maneira aqui e isso é que a gente pode agora só faturar esse cá e fica aí a como cá * a de - bc e isso daqui a gente ps como sendo o nosso determinante determinante de ar então a gente pode dizer que quando a gente multiplica a nossa uma linha da nossa matriz por um escalar kaká a gente também multiplicou determinante por esse mesmo escalar kaká então o determinante de ataque era a linha que se muda isso então o determinante de aninha o determinante de a linha vai ser igual ao escalar kaká vezes o determinante determinante de a vezes determinante determinante de a só lembrando que o a linha é a mesma matéria de ar só que com esses escalar ska aqui na frente do c e d modificação nessa linha daqui ok então agora vamos lembrar um pouquinho das matrizes três por três vão fazer aqui uma matriz b3 por 3 a 3 b3 por 3 a b c d f g h e i vamos supor que a gente pegue essa segunda linha aqui de acordo com aquele nosso quadro sinais de acordo com aquele quadro dos sinais - mais - mais - mais o nosso determinante na matriz b o determinante da matriz b seria igual a menos de menos de vezes a manter se retirar essa linha e essa coluna então sobra bch e b e c h e nosso agora é botar mais e mais e vezes determinante tirando essa licença como então a ce e a c g e e agora - efe - é o último tempo da linha e vez determinante tirando essa linha e essa coluna fica a bgh a b g e h e agora vamos supor que a gente faça uma outra matriz belinha uma outra matriz belinha e nessa matriz belinha eu vou multiplicar eu vou multiplicar todo essa minha segunda linha e g e h e toda essa minha segunda linha por um mesmo escalar cartão esse mesmo escalar kaká focado aqui agora vamos ver como vai ficar essa terminante então nosso determinante de belinha vai ser igual vai ser igual a menos cadê - cadê - cadê vezes o determinante que sobra receber ch e isso daqui - cá ou melhor mais k vezes o e vezes determinante a c g ii e agora - o ca vezes efe esef desde determinante a b e g e h e isso daqui se a gente faturar vai ser a mesma coisa que à vezes cá vezes o determinante de bebê determinante de b então a gente acabou de provar para os casos de matriz dois por dois e de três por três que a multiplicação de aplicar uma linha por um escalar o resultado vai ser essa mesma o resultado vai ser esse mesmo escalar vez determinante da minha matéria normal então se multiplicar uma linha inteira pelo mesmo escalar eu só preciso multiplicar determinante por esse mesmo instalar ok mas agora vamos ver um caso geral eu vou escrever um caso geral vamos fazer aqui uma matriz a eni por n matrizonline por ele que vai ser igual a fazer é fazê lo da maneira mais genérica consegui tentava dizer que reto maneira mais genérica não conseguirem enquanto é um pouco maior aqui então aqui vai ser meu termo a 111 aqui vou ter meu termo a 12 e isso daqui vai até chegarem a um n e agora eu vou descer até uma linha arbitrária que eu vou escolher para multiplicar por não escalar kaká então essa linha arbitragem seria a ir porque não se pode ter me ia arbitrar eu posso escolher a e um aqui eu teria a e 2 e assim vai e assim vai até chegarem à i n e agora continua aqui embaixo teria até chegarem à eni aqui seria o próximo tema seria a n 2 e até chegar o nosso termo a n n então essa aqui é a maneira mais genérica que eu posso escrever uma matriz n por n com uma das linhas aqui arbitrárias como por escolher pra multiplicar por escalar então agora só escrevendo como agente lembrava que era nosso determinante nosso determinante de ar então o determinante dessa nossa matriz a é igual à então pegar usando essa linha daqui essa linda aqui a gente não sabe qual é o nosso sinal aqui porque a gente não sabe quantos terrenos têm aqui quando tenha silva quando tenha baixo então a gente vai ter que usar a nossa fórmula que lhes tinha que era e era um elevado teor botar que seu time era um elevado a e mais j o elevado aí mas j - um elevador mj disco peça falando aqui então isso aqui vai ter que ser multiplicadas em plantas de cada terra então nós vamos ter aqui - um elevado - um elevado a ir mais j isso daqui x nosso termo à i 11 vezes o determinante da matriz se a gente tirar essa linha e essa corrida vai representar aqui como a i um integrante a 1 isso aqui vai ser muito isso aqui vai ser somado no caso com menos um e mais jp depois a gente vê o sinal efe bsi fk menos ou mais aqui isso aqui vezes o nosso segundo termo a e 2 vezes o determinante se a gente tirar essa linha e essa coluna então o determinante de a e 2 e isso daqui só vai pra chegar no nosso último termo mais - um elevado aí mais j vezes o nosso termo a e nm vezes o determinante mesmo de terminarem tirando essa linha é a minha enésima coluna que no caso seria determinante a en10 essa maneira aqui e só eu vou escrever isso aqui vez daqui em termos de sigma naquele somatório porque vai ficar um pouquinho mais simples de entender então determinante diabo e escrever na internet diá vai ser igual a somatória ao somatório de quando j é igual a 1 o nosso j igual a 1 aqui até j igual a ele tj igual a ele então vai de 1 até n pouco vou ter e nikon luna saque e isso aqui vai ser agora nosso tempo x nosso termo geral que seria menos um seria menos um dia na fazenda atacou menos um elevado aí mas j e isso daqui multiplicado pelo termo a e j no termo geral vezes o determinante o termo geral que seria a e j quando falo determinante desse meu termo geral só não se esqueçam que é determinante se tirar a linha é a coluna aquele meu termo que estiver aqui então isso daqui tudo isso daqui tudo é só uma outra forma é só uma outra forma de escrever essa linha toda cumprida aqui então aqui eu posso trocar meus termos porque eu poderia trocar o meu j aqui vai dj até iene e assim a gente poderia escolher verde poderia mudar aqui e fazer a somatória do qual determinante e dependendo de quantos termos a nossa matriz tivesse de contas com luvas de contas não tivesse e aqui e se no caso seria a minha linha arbitrária que foi a linha que eu escolhi pra multiplicar por escalar então agora prestem atenção porque vai sujar um pouco essa esse carro que eu vou fazer então aqui eu vou pegar multiplicar cada termo de se pôr um escalar kaká cada termo de se pôr um escalar kaká e agora nós vamos recalcular o determinante saque quando for com escalar kaká então o que vai ficar vai ficar determinante determinante de a linha vou mudar isso aqui pra a linha vai ser igual a menos um é levado a imagem j vezes cá vezes cá vezes o meu termo à aê 1 a e 11 vezes determinante seu ignorar cima da linha com esse meu terruá a e1 e isso daqui mais - um elevado aí mais j vezes cá vezes o meu termo a e dois no caso da linha e esi malinha e segunda coluna vezes o determinante desse meu termo a e 2 e agora só o último termo mais 1 - 1 mas menos uns que há de errado aqui mas menos um elevado aí mais j vezes o meu termo à i n a ene vezes o determinante o botafofo lado aqui vezes o determinante da minha matrícula ignorar a coluna linha desse termo n ha e n então agora a rede tem todos esses tempos a esquecida e multiplique por escalar cartão aqui ainda tem um escalar kaká multiplicando então a gente pode escrever e essa linha toda aqui como sendo da mesma maneira um escrevente notação em termos de sigma como aqui em cima vai ser o somatório o somatório de jó desde j igual até j igual a eni e isso daqui agora nosso termo geral no caso chamado de termo geral mas é só os nossos termos que depois vão variar pra fazer pra formar nossa determinante então aqui ficaria menos um elevado aí mais j isso aqui no tipificado pelo nosso escalar kaká multiplicado pelo nosso termo a e j vezes determinante desse nosso termo aí j então agora como esse carro como esse carro não está em termos de aí joga ou melhor não está em termos de jj que faria aqui parece sigma como esse carro não está em termos de j ele é consuma constante não posso colocar ele pra fora desse tempo todo aqui então eu posso escrever o determinante determinante de a linha como sendo igual a ca vezes o somatório kv o somatório dj igual a um até j igual a eni de -1 elevado aí mais j vezes a a e j vezes determinante de ignorar de quando ignora o termo a a linha com o termo aí j e isso daqui isso daqui é o que a gente conhece como determinante determinante de a então quando multiplicar uma linha na matriz npn se multiplicar uma linha inteira por um escalar cá a minha matriz o meu determinante resultante também vai ser multiplicada por esse mesmo escalar kaká só que agora eu queria que vocês não pensarem o que aconteceria se eu multiplicar-se aqui também por cá essa linha também por cá essa linha também por cá essa linha também por cá e assim vai a gente é multiplicar se é mais uma linha por cá frente multiplicar-se mais uma linha por cá na hora do nosso determinante se a gente tivesse duas linhas sendo multiplicadas por escalar kaká na hora de calcular o determinante no final a gente teria que multiplicar por cá o quadrado vezes o nosso determinante se a gente tivesse três linhas modificadas pelo mouse escalar cá a gente teria que multiplicar por cá ao cubo vezes o determinante só que a gente tiver n por e nenhuma crise nem por ele a gente tiver n linha cn colunas a gente vai multiplicar por cá é levado a ene vezes o nosso determinante então esse foi o vídeo talvez se com um pouco complicado mas a gente acabou de provar que sempre quente multiplicar uma linha por um por um escalar kaká o nosso determinante também vai ser multiplicado por esse mesmo escalar kaká então muito obrigado e até a próxima