Expressão de uma projeção sobre uma linha como um produto vetorial de matriz

RKA4JL - No último vídeo nós definimos uma linha L, fizemos a definição matemática como sendo a multiplicação do escalar c pelo vetor v, tal que c seja um número pertencente ao conjunto dos números reais. Essa simples definição nos permitiu mostrar o importantíssimo conceito de projeção em uma dada linha L, então definida. Naquele vídeo nós fizemos essa projeção no r², mas já dizendo que ela pode ser estendida para quaisquer dimensões que sejam necessárias. Então vamos dizer que a projeção é no rⁿ. Também no vídeo anterior nós definimos uma fórmula de projeção. Digamos que tenhamos a projeção de um dado vetor x, já conhecido na linha L, como sendo a multiplicação x vetor x escalar v (onde v, lembrando, é o vetor que define a linha L) dividido pelo produto escalar de v, o vetor definição, por ele mesmo. Tudo isso, toda essa operação, vezes o vetor v. Muito bem, produto escalar. Lembrando que ele resulta em um escalar e número real, então multiplicamos pelo vetor v obtendo um vetor que será nossa projeção. Nessa fórmula que nós deixamos no vídeo anterior, pense bem no denominador. Quando eu falo v escalar v (o produto escalar, não confunda com o produto por escalar), resulta em um escalar. Se é um vetor escalar ele mesmo, o resultado será o comprimento desse vetor ao quadrado, ou seja, o módulo do vetor v elevado ao quadrado. E no que isso nos ajuda? Pense bem. Podemos descrever essa forma de maneira mais simplificada. Veja só. x, vetor x escalar v sobre o módulo do vetor v elevado ao quadrado. E tudo isso vezes o vetor v, que repito, é o vetor que define a nossa linha. Até aqui você vai dizer que não facilitou muita coisa. Mas se você pensar no vetor v como sendo um vetor unitário... O que é mesmo um vetor unitário? Já vimos em alguns vídeos. O próprio nome já diz, é bastante simples. É um vetor cuja dimensão gráfica, cuja dimensão geométrica é igual a 1, cujo módulo é igual a 1. Então se o módulo de v, se v é um vetor unitário, essa fórmula vai ficar reduzida. Veja só como vai ficar simples. Temos x escalar v vezes o vetor v. x escalar v (deixe-me colocar um parênteses aqui) vezes o vetor v porque nós dividimos, agora, o módulo de v², esse v é um vetor unitário e esse módulo vai resultar em 1. Então nem preciso mais dividir. Veja como agente simplifica bastante a fórmula uma vez que o vetor v seja um vetor unitário. Eu vou representar graficamente aqui para que você entenda melhor. Nós fizemos no vídeo passado, mostramos aqui que os eixos coordenados, a nossa linha L (veja só, aqui está definida, é bom lembrar). Para a gente saber dessa linha, para a gente poder defini-la, usamos um vetor v. É muito importante lembrar que o vetor v é um vetor não nulo, diferente de zero. Digamos aqui que nós não temos certeza de que é um vetor unitário, então podemos tratar o vetor v como vetor não unitário. Digamos, então, que o módulo do vetor v seja diferente da unidade. Isso não vai trazer problemas para a gente porque nós aprendemos, você deve lembrar de outros vídeos, como determinar um vetor unitário (deixe-me desenhar aqui um vetor unitário) na mesma direção e sentido de um vetor v dado. Basta você fazer. Vamos representar o vetor unitário com "u" e seu tradicional circunflexo. Você deve lembrar que basta fazer 1 dividido pelo módulo do vetor v multiplicado pelo vetor v. Teremos, então, um vetor unitário na mesma direção e sentido de v. Fazer isso vai simplificar nossa vida porque a nossa linha, agora, passa a ser definida como a multiplicação do escalar c pelo vetor unitário "u" tal que c seja um número pertencente aos números reais. Dessa forma, a projeção que nós queremos (é muito importante essa definição, mais uma vez eu te lembro) a projeção na linha L de um dado vetor x conhecido, baseado no nosso vetor unitário, passa a ser essa fórmula que a gente já mostrou. Será x, produto escalar x, escalar "u", vetor unitário, vezes o vetor "u". É uma maneira bem mais simples de trabalhar. Assim como no vídeo anterior, nós vamos mostrar exemplos numéricos. O vetor v, que define nossa linha, será com os mesmos valores do vídeo anterior na horizontal dimensão duas unidades, na vertical uma unidade. O vetor x, mais uma vez, terá a dimensão horizontal igual a 2 e vertical igual a 3. Veja que nós queremos definir o nosso vetor "u". Para tanto será importante calcular o módulo do vetor v. O comprimento geométrico é igual à raiz quadrada (você deve se lembrar do Teorema de Pitágoras) raiz quadrada da soma dos quadrados das coordenadas. Então temos 2² mais 1². Temos que o módulo do vetor v será igual à raiz quadrada de 5. Se eu quiser saber o vetor "u", pois vamos precisar dele em nossa fórmula, o vetor "u", veja só, ele é, segundo o que a gente se lembra, 1 dividido pelo módulo do vetor v, que é raiz de 5, que multiplica o vetor v... Opa, o vetor v a gente já sabe. Então é 2 na horizontal e 1 na vertical. Fica a seu critério se você vai multiplicar ou deixar apenas indicado desta maneira. É importante você notar, então, que o vetor definição da nossa linha, desde que não seja um vetor nulo, é claro, ele pode sempre ser representado por um vetor unitário de mesma direção e sentido. Isso vai facilitar bastante transformando a forma que deduzimos no vídeo anterior em uma forma de aplicação bem mais simples. Essa fórmula é uma transformação do rⁿ em rⁿ, você pode usar quantas dimensões quiser, embora a gente tenha mostrado apenas duas. Contudo, essa projeção, a transformação que mostramos aqui, ainda não temos certeza, não mostrei se ela é realmente uma transformação linear. Então vamos lembrar disso. Transformação linear, como é que nós podemos saber isso, então? Transformação linear. Há duas condições que precisam ser seguidas e vou mostrá-las para você. Digamos que nós queremos fazer projeção na linha L, já conhecida, da soma vetorial do vetores "a" e "b". Então vetor "a" mais vetor "b". Uma das condições para que a transformação seja realmente linear é se essa projeção da soma dos vetores for igual, for a mesma coisa que a soma das projeções de cada um dos vetores. Como é que nós podemos saber isso? Vamos seguir nossa fórmula aqui. Digamos que a soma dos vetores (a mais b) seja representada por x na nossa fórmula. Então x será a soma dos vetores "a" e "b", a mais b, imagine isso. Então no lugar de x da nossa fórmula (a mais b) escalar "u", escalar vetor unitário, o resultado será um escalar, ou seja, um número, tudo isso vezes, obedecendo à fórmula, em vez do x colocamos (a mais b) escalar "u" e tudo isso vezes, multiplicação simples, o vetor "u", que teremos, repito, um escalar aqui. Tudo bem, o que temos aqui? Se é um produto escalar, então veja: ele obedece, ele tem propriedade distributiva. Então podemos fazer o seguinte: vetor "a", "a" escalar "u" mais vetor b escalar "u", tudo isso vezes o vetor "u", mais uma vez. Então o que teremos aqui é um produto, uma soma de produtos escalares. O resultado será um escalar e será uma multiplicação simples pelo vetor unitário "u". Se é uma multiplicação simples também temos a propriedade distributiva, então nosso resultado vai ficar "a" escalar "u", o que temos na primeira parcela, vezes o vetor "u" mais b escalar "u" vezes... Ah, agora não posso fazer esse sinal porque não é um produto escalar. Multiplicação simples o vetor "u". Observe bem o que nós temos aqui: a escalar "u" vezes o vetor "u" é como se "a" fosse o “x” aqui da fórmula, é um vetor também, então isso aqui nós podemos mostrar a você que é o que nós esperávamos: a projeção, nesse caso projeção na linha L do vetor "a", e aqui, da mesma forma, b escalar "u" que multiplica o vetor "u". Agora é a projeção na mesma linha L do vetor b, ou seja, a projeção da soma de dois vetores é igual à soma das projeções de cada um dos vetores. É a primeira condição para que realmente nossa transformação seja uma transformação linear. Agora vamos verificar a outra condição, que será a seguinte: vejamos se a projeção de um escalar vezes um determinado vetor "a" na linha L é igual à multiplicação do escalar pela projeção do vetor "a" na mesma linha. Como é que nós podemos expressar isso aqui, então? Projeção de ca, segundo nossa fórmula, então temos... Lembre-se de que um escalar vezes um vetor sempre resulta em um vetor. Vamos colocar no lugar do vetor x. Isso será ca escalar "u", tudo isso respeitando, então, ca no lugar de x escalar "u", vezes o vetor "u", vetor unitário "u". Pelas propriedades (deixe-me aumentar o espaço) pelas propriedades do produto escalar nós podemos fazer c vezes "a" escalar "u", tudo isso vezes o vetor "u". Então o que temos aqui? Exatamente o que nós esperávamos: A multiplicação do escalar c pela projeção, veja só, o "a" tomou o lugar de x. Então essa é a projeção de x e temos aqui a projeção de "a", a projeção do vetor "a" na linha L e tudo isso multiplicado por c. Essa segunda condição mostra que realmente a nossa transformação mostrada é uma transformação linear de rⁿ em rⁿ. Dessa forma, sendo linear nós podemos definir a transformação como uma transformação matricial. Vamos organizar as coisas aqui, então. Já sabemos muito bem que a projeção de um vetor x dado em uma linha L é igual ao produto escalar desse vetor x, produto escalar pelo vetor unitário que define nossa linha, vezes o vetor "u" novamente. Queremos representar tudo isso como sendo multiplicação da matriz de uma matriz "a" vezes o vetor "u", uma multiplicação normal da matriz, vezes o vetor x. Vamos ver como isso pode ser feito. Vamos, agora, definir nossa matriz de transformação. Antes de mais nada, é claro, vamos lembrar, nós vamos para questões de mais clareza, vamos definir nossa projeção como sendo do r² em r². Mas como você bem sabe, isso pode ser estendido a quaisquer dimensões que você queira. Então essa matriz "a", digamos, será a matriz dois por dois. Então vamos pensar que na matriz identidade (deixe-me mudar a cor), vamos trabalhar com a matriz identidade dois por dois que você conhece muito bem: 1,0,0,1. A nossa matriz transformação, para obter essa matriz transformação nós vamos fazer o produto vetorial de cada uma das colunas pelo vetor unitário, que nós temos aqui. Esse vetor unitário também vamos trabalhar como matriz. Então vamos definir o vetor unitário assim, como as suas dimensões sendo u₁ e u₂. Dessa forma vamos ter a nossa matriz transformação, que vai ser a primeira, essa primeira coluna, então a primeira coluna da matriz transformação vai ser a primeira coluna, que temos aqui como sendo um vetor, veja só, 1,0, como se fosse o vetor x, que multiplica o nosso vetor unitário, já definido, u₁ horizontal, u₂ dimensão vertical, tudo isso seguindo a nossa fórmula conhecida. Tudo isso vezes o vetor unitário, mais uma vez, u₁ e u₂. Essa, então, será a primeira coluna da nossa matriz transformação. A segunda coluna (deixe-me mudar a cor), a segunda coluna da matriz transformação será a segunda coluna segunda coluna da matriz identidade, que é 0,1, escalar, como se fosse x, então escalar o vetor unitário de dimensões conhecidas u₁ e u₂ (claro que aqui estamos tratando só de uma fórmula) tudo isso vezes o vetor unitário u₁ e u₂. Dá mais trabalho para escrever do que para falar, não é verdade? Aqui termina nossa matriz que começa aqui. Teremos nossa matriz transformação. Vamos ver como se faz o resultado. Parece complicado, mas não é. Vou mostrar aqui como fazemos esse... (Deixe-me mudar a cor). Vamos fazer aqui, é bastante simples. 1 vez u₁ mais zero vez u₂. zero vez u₂ é zero, então temos que isso tudo aqui resulta apenas em u₁. Então está aqui u₁ que multiplica o nosso vetor unitário u₁ e u₂, quaisquer que sejam as dimensões do vetor unitário. Depois temos a segunda coluna que será zero vez u₁, zero, mais 1 vez u₂. Tudo isso vai se transformar em u₂ que multiplica o nosso vetor unitário. Então a segunda coluna da matriz transformação será u₂ vezes as dimensões do vetor unitário u₁ e u₂. Então como é que vai ficar nossa matriz transformação? Parece complicado, mas não é. Eu asseguro a vocês. Claro que você precisa tentar fazer, trabalhar com isso para ver como é simples. Então temos aqui u₁ vezes u₁, primeira linha e primeira coluna, será u₁², (multiplicação simples, não se esqueça, de um número por uma matriz) u₁² e o elemento da segunda linha e primeira coluna será u₁u₂. u₁ vezes u₂. A primeira linha segunda a coluna será u₂ vezes u₁, e o elemento, finalmente, da segunda linha e segunda coluna será u₂ vezes u₂, ou seja, u₂². Teremos aqui, então, a nossa matriz transformação. Agora vamos ver como ela fica. Para tanto vamos usar o vetor unitário já definido. Então temos o nosso vetor "u" que nós tínhamos deixado apenas indicado. Veja só. 1 sobre raiz de 5 vezes a componente horizontal, teremos 2 sobre raiz de 5. 1 sobre raiz de 5 vezes 1, bastante simples, vamos lá. 1 sobre raiz de 5. Esse é o nosso vetor unitário. Vou deixar ele assim. Vamos ver como fica a nossa matriz transformação. Nesse caso a matriz "a", veja só. Então temos aqui u₁²... u₁ é a dimensão horizontal, como já foi dito, então é uma matriz dois por dois. u₁², que é (2 sobre raiz de 5)², é 4 sobre 5. Aqui u₁ vezes u₂. 2 raiz de 5 vezes 1 raiz de 5, temos 2 sobre 5. Dois quintos. Depois temos u₂ vezes u₁ (lembre-se que isso é multiplicação normal) então u₂ vezes u₁ é a mesma coisa que u₁ vezes u₂, ou seja, novamente temos aqui 2/5. Finalmente (1/5)², que é u₂². (1/5)², (1 sobre raiz de 5)²... Opa, vamos tomar cuidado. Distração costuma atrapalhar a gente. 1² é 1, (raiz de 5)² é o próprio 5. Aqui está nossa matriz "a" de transformação que nós podemos usar. Sempre que eu tiver um vetor x qualquer posso usar essa matriz "a" para fazer a transformação e determinar a projeção de x sobre a linha L definida, vamos lembrar, pelo vetor unitário "u", que nesse exemplo tem os valores componentes horizontal e vertical. Dessa forma vamos definir a nossa projeção de um dado vetor x, o vetor que a gente precisar, vetor x na linha L, sendo essa linha L (como já lembramos, bem definida pela multiplicação no escalar c pelo vetor unitário "u") tal que c pertença, tenha um valor pertencente, ao conjunto dos números reais. Neste caso, então, tendo este vetor, você pode em outros trabalhos produzir, determinar seu próprio vetor unitário e também determinar a matriz de transformação facilmente, como você viu aqui. Nesse caso temos a matriz 4/5, 2/5, a segunda será novamente 2/5 e finalmente 1/5, segunda linha e segunda coluna, vezes o vetor x do qual você precisa determinar a projeção sobre a linha L. Dessa forma veja que nós simplificamos bastante a nossa fórmula apenas usando essa matriz de transformação multiplicada pelo vetor x.