Desigualdade triangular de vetor

RKA - No vídeo anterior nós estudamos a desigualdade de Cauchy-Schwarz que diz que se tivermos dois vetores "xy" não nulos pertencentes à "Rⁿ", então o módulo do produto escalar deles é 'menor que' ou 'igual a' o produto das normas dos dois. Essa desigualdade é uma ferramenta muito importante em outros momentos da matemática, inclusive agora que vamos estudar a desigualdade triangular. Também temos que se "x" é igual a "y" multiplicado por um escalar, então, o produto, o módulo, do produto escalar dos vetores "x" e "y" é igual ao produto das normas dos dois vetores e vice-versa. Aqui é se, e somente se. Vamos estudar então o que acontece aqui com a norma da soma de dois vetores elevada ao quadrado. Lembrando que, "x + y", dois vetores somados, resultam em um outro vetor. E a norma desse novo vetor elevada ao quadrado é igual a. Vamos lembrar uma outra informação de um outro vídeo que é o fato de que, a norma de um vetor ao quadrado é igual ao produto escalar do vetor por ele mesmo. Usando essa informação aqui, nós podemos escrever que, então a norma de "x + y" que é o vetor ao quadrado, a norma ao quadrado, é igual a produto escalar do "x + y" por ele mesmo, ou seja, "x + y" é um vetor escalar, produto ponto escalar aqui. Produtos escalar "x + y". Nós estudamos que a propriedade distributiva vale para o produto escalar, então isto pode ser reescrito como. Eu vou usar aqui uma cor para destacar o "x" e o "y" daqui. Veja, tudo isso multiplica "x + y". Então eu posso pensar no "x" produto. Não é multiplica é produto escalar. "x" produto com o "x + y", "x + y", mais o "y" agora. Aqui o "y" produto com o "x + y", também. Continuando a usar a propriedade distributiva, aqui eu tenho que vale o "x" produto com o "x", mais o "x", aqui, produto com "y". "x" produto com "y". Mais aqui, mais, a mesma coisa só que agora para o "y". Então, "y" produto com o "x", mais o "y" produto com "y". "y" produto com o "y". Muito bem, nós sabemos que também vale a propriedade comutativa, ou seja, se eu modificar a ordem no produto escalar eu não modifico o produto. Além disso, o vetor produto escalar com ele mesmo resulta na norma dele ao quadrado. Então, aqui "x" produto escalar com "x" resulta na norma de "x²" mais, "x" escalar com "y" e "y" escalar com "x". A propriedade comutativa garante que temos duas vezes o produto escalar de "x" por "y". Mas lembrando que o produto escalar resulta em um número real. Então, "x" escalar com "y" e "y" escalar com "x" é o mesmo número, adicionado, então, 2 vezes àquele número. E finalmente "y" escalar com "y" resulta na norma de "y²". Nesse momento vamos a uma observação, e aqui nós vamos poder usar a desigualdade de Cauchy-Schwarz. Só vamos observar o seguinte, na desigualdade Cauchy-Schwarz nós temos o módulo de "x" produto escalar com "y" e aqui não temos o módulo. Mas temos uma informação importante: "x" escalar com "y", veja, isto pode resultar negativo, ok? "x" pode ser... "x" escalar com "y" pode resultar em um número negativo. Mas, comparando isto com o módulo de "x" escalar com "y', se isso for negativo, isto vai ser positivo. Então, "x" escalar com "y" é sempre menor que ou igual ao módulo dele mesmo. Certo? Se "x" escalar com "y" é menor que ou igual ao módulo dele mesmo, e o módulo de "x" escalar com "y' é menor que ou igual ao produto das normas de "x" por "y", que essa sim é a desigualdade de Cauchy Schwarz, conclusão, então, é que "x" escalar com "y" é menor que ou igual ao produto das normas de "x" por "y". Vamos usar isso aqui em baixo. Então, agora nós sabemos que "x" escalar com "y" é menor que ou igual ao produto das normas de "x" pela norma de "y". É o que estava exatamente em cima. Então, o que nós tínhamos aqui? A norma de "x + y²" é igual a esta expressão toda. Então a norma de "x + y²" vai ser menor que ou igual a a norma de "x²", mais 2 vezes. Eu vou substituir o produto escalar de "x" por "y" pelo produto das normas de "x" por y", mais a norma de "y²". O que eu fiz, então, foi substituir o produto escalar de "x" por "y" pelo produto das normas. Então, o que eu tenho aqui em cima é menor que ou igual ao que eu tenho aqui embaixo. Então, a norma de "x + y", aqui é o vetor. A norma dele ao quadrado é menor que ou igual a esta expressão toda. Bem, observe, claro, que temos garantido aqui que são todos os números positivos porque a norma de vetor é positivo, ao quadrado é positivo e assim por diante. Ora, aqui nós podemos perceber uma outra coisa: norma de "x" é número, norma de "y" é número e assim por diante. E nós podemos ver que temos aqui um trinômio quadrado perfeito. Norma de "x²" + 2 vezes a norma de "x" pela de "y" + a norma de "y²". Então, posso transformar tudo o que eu tenho aqui simplesmente em norma de "x" mais norma de "y" tudo ao quadrado. Temos mais algo a fazer. Como eu só tenho números positivos envolvidos aqui por causa das normas, se eu extrair a raiz quadrada dos dois lados eu não tenho problema com sinais negativos etc, a desigualdade se mantém, e eu vou ter do lado esquerdo simplesmente "x + y" vetores, estamos falando de vetores. Norma de "x + y" menor que ou igual a norma de "x" mais a norma de "y". A norma da soma de dois vetores é menor que ou igual à soma das normas dos dois vetores. Isto é extremamente importante na matemática e recebe o nome de desigualdade triangular. Desigualdade triangular. Chama-se desigualdade triangular por ter a ver, é claro, com a figura triângulo, embora neste momento possa não parecer. Vamos olhar graficamente para isso um pouquinho e vai facilitar a compreensão. Vamos supor que eu tenha meu vetor "x" aqui. Este é o "x", e o vetor "y" aqui, não vai ficar na posição padrão, mas podemos estudá-lo. Aqui está o vetor "y". Lembrando que eu estou aqui supondo que "x" e "y" estão em "R²". É só para dar um exemplo para poder visualizar melhor. Para obter a soma dos dois vetores nós teríamos um novo vetor aqui. Este vetor em branco é o vetor que representa "x + y". O que a desigualdade triangular diz é que o comprimento deste vetor é menor que ou igual ao comprimento desse vetor adicionado ao comprimento deste vetor. Qual seria o caso extremo em que o módulo ou a norma de "x + y" é igual à norma de "x" mais a norma de "y"? Seria no caso em que, por exemplo, nós tivéssemos os dois vetores na mesma direção. Por exemplo aqui, o vetor "x". Aqui o vetor "x" e aqui o vetor "y". Neste caso, o "x + y" seria exatamente do mesmo tamanho, do mesmo comprimento, do comprimento de "x" mais o comprimento de "y". Diferente desse outro caso que estava estudando aqui. E neste caso aqui, a desigualdade triangular se torna uma igualdade. A norma de "x + y" é igual à norma de "x" mais a norma de "y". Esta situação aqui, como é que fica na nossa matemática ali de trás? Vamos voltar um pouquinho. Voltando aqui, exatamente neste ponto, nós decidimos pela desigualdade de Cauchy-Schwars que isso é menor que ou igual a isto aqui. Muito bem, quando que ele é igual? Nós já vimos lá atrás que quando um vetor é a multiplicação do outro por um escalar. Vamos voltar aqui ao lado e escrever que o "x" seja igual a um certo escalar multiplicado pelo "y". Ora, voltando aqui a este momento, escrever "x" produto escalar com "y" equivale, então, a escrever, equivale a escrever, no lugar de "x" eu tenho "cy" produto escalar com "y". Claro, estamos considerando aqui que o "c" é um número real positivo. Por que lá na desigualde de Cauchy- Schwarz não nos importamos muito com isso? Porque ela estava em um módulo, mas aqui não. Então, vamos considerar que "c" é positivo. Bem, se "x" escalar com "y" é igual a "cy" escalar com "y", isto tudo aqui se torna o "c" multiplicado pelo "y" escalar com "y". Que é igual ao "c" multiplicado pela magnitude, pela norma de "y²", "y" produto com "y" é a norma dele elevada ao quadrado. Isto é um número positivo, portanto, "c" só faz sentido ser positivo. De maneira que teríamos o "x" e o "y" com a mesma direção e o mesmo sentido nesta situação. Já que estamos com "c" positivo, sem dúvida nenhuma, nós temos condições para afirmar que o módulo de "x" produto com "y" é igual ao próprio "x" produto com "y", já que este produto vai ser positivo e o módulo também o será. Resumindo tudo isso, se o "x" é igual a um constante multiplicando "y", constante positivo, isso quer dizer o quê? Que o "x" e o "y" têm a mesma direção e o mesmo sentido. Que é o que eu tinha no desenho lá embaixo, agora mesmo. Veja só, o "x" e o "y" com a mesma direção e o mesmo sentido. Neste caso, a soma dos dois vetores, a norma da soma dos dois vetores é então a soma das normas dos vetores. Voltando aqui na nossa expressão, nós estaríamos em uma situação que esta parte é igual a esta. O que quer dizer que o sinal de desigualdade não seria mais, neste caso específico, o sinal de desigualdade, seria um sinal de igualdade, quando "x" e o "y" são um múltiplo por meio de escalar do outro. Voltando aqui, então, esta igualdade acontece quando o "x" é igual a "c" vezes o "y", sendo "c" um escalar positivo. Bem, e nos casos que não são extremos. Então, temos aqui a desigualdade triangular dizendo que um lado do triângulo é sempre menor que ou igual. Perdão, um lado do triângulo é menor que a soma das medidas dos outros dois lados do triângulo, por isso, desigualdade triangular. Nós fizemos aqui exemplos em "R²". Estamos aqui em "R²", apenas duas dimensões. Mas isso tudo que está escrito vale para "R" de qualquer dimensão, por exemplo: "R¹⁰⁰" que os vetores tem 100 componentes cada um. Este é um resultado muito importante não só para álgebra linear, mas também na álgebra linear, e este resultado nos vai ajudar a estudar a ideia de ângulos entre vetores. Se tiver um ângulo aqui nós podemos estudar. E não só em duas dimensões, mas em "Rⁿ" em qualquer dimensão, em qualquer quantidade de dimensões, nós podemos usar essa desigualdade para trabalhar com a ideia de ângulos entre vetores. É o que veremos mais adiante. Até o próximo vídeo!