Introdução à independência linear

RKA17 - Vamos dizer aqui, neste vídeo, que eu tenho um par de vetores, então, tenho o vetor [2 3] e tenho também o vetor [4 6]. Então, são esses dois vetores aqui que eu tenho, o vetor [2 3] e o vetor [4 6]. Eu só quero saber qual é o espaço gerado por esses vetores, assumindo que esses vetores estão na posição padrão. Então, eu quero saber quais são todos os outros vetores que podem ser gerados por esses vetores aqui. Se você se lembrar bem do que nós fizemos no último vídeo, você vai lembrar do seguinte, que esses dois vetores aqui, juntos, vão fazer uma combinação linear para gerar todos os outros. Portanto, o espaço gerado por esses dois vetores será o seguinte, c₁ vezes v₁, que é [2 3] mais c₂ vezes v₂, então, c₂ vezes v₂, que é [4 6]. Eu posso perceber o seguinte, quando eu olho para cá, eu reparo seguinte, que esse vetor é duas vezes o primeiro vetor aqui. O vetor [4 6] é o dobro do vetor [2 3]. Isso aqui pode ser reescrito como c₁ vezes o vetor [2 3], mais c₂ vezes esse vetor aqui, só que eu vou escrever esse vetor aqui de uma forma um pouco diferente. Vou escrever assim: 2 vezes o vetor [2 3]. E por quê? Porque isso aqui é a mesma coisa que o vetor [4 6]. Vou escrever 2 vezes o vetor [2 3]. E repare, eu não mudei nada, porque esse pedaço aqui é exatamente igual a isso aqui. Isso porque 2 vezes 2 é 4, e 2 vezes 3 é 6. Bom, então, posso colocar isso aqui em evidência, posso escrever o seguinte, eu posso escrever que (c₁ + 2c₂), vou colocar isso aqui em evidência, multiplicado pelo vetor [2 3]. Então, isso aqui é o que eu tenho agora, coloquei o vetor [2 3] em evidência aqui. E aqui c₁ + 2c₂, c₁ é uma constante, e c₂ também é uma constante arbitrária, Se eu pego (c₁ + 2c₂), é um número arbitrário mais duas vezes um número arbitrário também. Isso aqui com certeza vai dar um número arbitrário. então, posso tratar isso aqui como sendo uma "constante 3". Vou escrever que isso aqui é c₃ vezes o vetor [2 3], c₃ vezes [2 3]. Neste caso aqui, mesmo que eu tenha começado com dois vetores, a gente viu que um vetor é múltiplo do outro. E o que aconteceu? A gente acabou conseguindo reduzir esses dois vetores aqui a apenas um vetor, e multiplicado por um escalar também. Bom, então, aqui vai acontecer o que? Esses vetores aqui são dependentes um do outro, eles não geram nada diferente do que um vetor sozinho pode gerar. Eu poderia ter feito o caminho contrário, em vez de dizer que esse vetor é o dobro desse, poderia ter dito que esse é metade desse, e isso não alteraria o nosso resultado. E o que eu tenho aqui de importante é o seguinte, isso aqui é capaz de, sozinho, representar os dois vetores, então, isso aqui sozinho é capaz de representar os dois vetores. E nós já vimos que quando nós pegamos um vetor tipo esse aqui, e nós fazemos a combinação linear apenas com ele, o que vai acontecer? Então, vamos dizer que a gente tem aqui o vetor [2 3], então, o vetor [2 3] está aqui, se eu pego esse vetor aqui, marco aqui, esse é o meu vetor. Então, o que dá a combinação linear apenas desse vetor? Bom, vai dar toda essa linha aqui. Então, quando a gente tem um vetor assim, a gente, na verdade, acaba tendo toda essa linha. E neste caso, tanto para um lado quanto para o outro, isso aqui continua crescendo infinitamente. Então, como esses vetores aqui estão na forma padrão, a única linha que eu vou ter para traçar os meus vetores é essa linha aqui. Então, você poderia dizer o quê? Você poderia dizer que o espaço gerado por esses dois vetores, ou seja, pelo vetor [2 3] e pelo meu outro vetor [4 6], seria o quê? Bom, seria isso aqui, né? Seria essa linha aqui. Embora esses vetores sejam diferentes, um vetor é múltiplo do outro, e, na verdade, eles caem em cima da mesma linha. O vetor [2 3] está aqui, e o vetor [4 6] seria esse vetor aqui. Esse vetor aqui é o vetor [4 6], eles são colineares. Então, vamos escrever isso aqui, o nome que se dá a esses vetores aqui é colinear, esses vetores são colineares. Então, quando eu pego esses dois vetores aqui, estou tratando aqui do R². O que vai acontecer? Eu quero gerar outros vetores a partir desses, no R². Bom, mas alguns vetores são impossíveis de serem gerados, por exemplo, esse vetor aqui. É impossível gerar esse vetor aqui através desses dois. Então, utilizando apenas esses dois vetores, é impossível representar todo o R². Nesse caso, a gente só vai conseguir representar essa linha aqui. E essa ideia está associada ao seguinte, eu peguei dois vetores e, através das minhas combinações lineares, eu consegui reduzir isso a apenas um vetor. Então, o que eu posso dizer aqui é que o seguinte, que esse conjunto que a gente tem vai ser linearmente dependente. Então, vamos escrever isso aqui, esses vetores são linearmente dependentes. E o que significa isso? O que significa ser linearmente dependente? Se eu pego um conjunto de vetores, e dentro desse conjunto de vetores eu pego um vetor, que é uma combinação linear de outros vetores desse conjunto, então, esse vetor é linearmente dependente desses outros vetores. Uma outra maneira de pensar nisso é o seguinte, você pega esse vetor, acrescenta ao espaço que você já tem, e aí você vai ver se ele vai gerar uma nova dimensão. Se ele não gera nenhuma nova dimensão, então, quer dizer que ele é linearmente dependente. Ou seja, por exemplo, esse caso aqui, eu pego vetor [2 3], o vetor [2 3] já está aqui, seguindo nessa direção, e o vetor [4 6] acaba seguindo na mesma direção. Então, ele não acrescenta nada, não acrescenta nenhuma dimensão para a gente. Nesse caso aqui, eles não são capazes, por exemplo, de gerar esse vetor aqui que está na segunda dimensão, eles estão apenas em uma dimensão. Se a gente pensasse, por exemplo, nisso aqui como uma terceira dimensão, então, vamos dizer que a gente tivesse dois vetores aqui. Vou traçar um vetor aqui, e vou traçar outro vetor aqui. Então, o que acontece? Esses vetores estão no mesmo plano, mas eles não estão na mesma linha, ou seja, eles não são colineares. Então, eu posso dizer que isso aqui, esses dois vetores, formam um plano. Então, vamos dizer que eu coloque o terceiro vetor aqui, e esse vetor está no mesmo plano dos outros dois, ou seja, eles são coplanares, pertencem ao mesmo plano. Então, esse vetor aqui não acrescentou nenhuma dimensão, logo, esses três vetores são linearmente dependentes entre si. Uma outra maneira de pensar nisso, é que esses dois vetores rosa aqui conseguem expandir todo esse plano, inclusive este vetor verde que está aqui. Portanto, qualquer vetor, como esse aqui, pode ser uma combinação linear desses dois vetores aqui, desse vetor, e desse outro vetor aqui. Portanto, isso significa o quê? Significa que se esse vetor verde aqui está dentro desse plano, então, ele com certeza pode ser representado por esse vetor e por esse vetor aqui. Portanto, conforme dissemos antes, esse vetor verde não vai acrescentar nada ao meu plano, ele não vai mudar em nada, porque esses dois vetores aqui já dão conta de expandir o plano. Isso acontece porque esse vetor aqui é linearmente dependente dos outros, então, isso acontece porque esses vetores aqui conseguem expandir todo o plano, inclusive esse vetor. E para que esse vetor acrescentasse alguma dimensão, ele teria que sair desse plano, ele teria que sair desse plano, dessa maneira, assim. Então, ele estaria em outro plano. Isso significa o quê? Significa que esse vetor aqui, junto com os outros, podem representar outros vetores que não estão nesse plano aqui. Portanto, esses três vetores aqui seriam capazes de gerar outros vetores, diferentes destes que já existem. Bom, então, esses três vetores aqui, a gente diria que são linearmente independentes, apenas esses três vetores. Deixe-me fazer mais alguns exemplos aqui para você ver alguma coisa um pouco mais, talvez, um pouco mais abstrata. Vamos dizer que eu tivesse os vetores: [2 3], o vetor [2 3], o vetor [7 2], e o vetor, vamos dizer aqui, [9 5]. Eu quero saber o seguinte, eu quero saber se esses vetores aqui são linearmente dependentes ou não. Quando você olha de cara aqui, você não vê nenhum desses vetores sendo múltiplos um do outro, então, parece que, a princípio, eles não são dependentes, parece que eles são independentes, mas vamos averiguar melhor isso. Quando a gente investiga melhor, a gente vê que esses vetores aqui têm uma relação entre si. Então, se eu chamar esse vetor aqui de v₁, somar com esse outro vetor, que eu vou chamar de v₂, eu vou ter o que? Eu vou ter esse terceiro vetor aqui, que é o v₃. A soma desses dois primeiros vetores deu esse terceiro aqui, portanto, esses três vetores aqui são linearmente dependentes, deixe-me escrever isso. Esses vetores são um conjunto de vetores, aqui a gente tem um conjunto de vetores linearmente dependentes. Então, aqui eu tenho três vetores linearmente dependentes. Portanto, vamos ver isso de forma gráfica, vamos lá. Vamos ver isso na forma gráfica. Então, se eu pegar esse vetor aqui, o vetor [2 3], ele está mais ou menos aqui assim, vamos desenhar o vetor [2 3] aqui, então, aqui está o meu vetor. Agora, vou pegar o vetor [7 2], então, vamos pegar esse vetor aqui, [7 2]. O vetor [7 2] está aqui assim. Aqui, eu tenho o vetor [7 2]. Vamos marcá-lo aqui, é um pouco mais longo. Eu poderia marcar esses vetores em qualquer parte do plano. Eu estou marcando aqui porque foi assim que eu fiz outros vídeos, partindo do ponto (0, 0), mas ele poderia estar em qualquer parte desse plano. O que eu posso garantir a você é que qualquer vetor aqui no espaço pode ser representado pela combinação linear desses dois vetores aqui, por exemplo. Agora, vamos marcar o vetor [9 5], o vetor [9 5] está aqui. Aqui é 9, aqui, mais ou menos vai ser 5, então, o vetor [9 5] está aqui. E claramente está no R², não é? Claramente ele está no nosso R². Então, aqui está o vetor [9 5]. Lembrando que a gente está no R², então, este vetor aqui também está no R². Portanto, todo esse R² pode ser formado pelo espaço gerado através de dois vetores, v₁ e v₂. Isso vai ser todo o nosso R². Esse vetor é um exemplo disso, ele é uma combinação linear de v₁ e v₂. Então, esses dois vetores juntos aqui acabam resultando no vetor v₃, que é esse vetor azul aqui. Agora, nós estamos começando a acostumar com essa ideia do que é ser linear dependente ou ser linearmente independente, então, deixe-me fazer aqui um outro exemplo. Portanto, vamos dizer que eu tenha, deixe-me descer um pouquinho isso aqui, vamos dizer que eu tenha, deixe-me só trocar a minha cor aqui, então, vamos dizer que eu tenha o vetor [7 0]. Bom, isso aqui talvez seja um pouco óbvio. Esse aqui é o meu v₁. E aqui, eu vou colocar um outro vetor, que vai ser o vetor [0 -1]. Esse aqui vai ser o meu v₂. Eu posso dizer que esse conjunto aqui é um conjunto linearmente independente. Isso porque se eu quiser combinar esses dois elementos aqui, combinar um deles para obter o outro, é impossível, já que aqui é zero, e aqui também é zero, não existe número possível que eu multiplique aqui por zero e dê 7. O que eu estou querendo dizer é que quando eu tenho uma combinação linear, se eu pegar aqui, por exemplo, c₁ e colocar aqui, e eu multiplicar c₁ por zero, eu nunca vou obter este vetor aqui, porque aqui vai dar -1, então, não existe um número escalar, que eu multiplique por zero, e dê -1. Da mesma forma que se eu pegar uma constante e multiplicar por zero, eu nunca vou conseguir obter o número 7, porque isso sempre vai dar zero, nunca vou obter 7. Então, a gente conclui que se a gente pegar um vetor e se a gente combinar esse vetor, ele nunca vai resultar no outro vetor. Então, a gente pode dizer o quê? Que esses vetores são linearmente independentes. E a gente pode ver isso aqui em um gráfico, então, vamos descer um pouquinho aqui. Vamos ver. Vamos desenhar, primeiro, o vetor [7 0], o vetor [7 0] está aqui. Esse aqui é o nosso vetor [7 0]. E esse aqui, esse aqui é o vetor [0 -1]. Claramente, eles não estão na mesma linha, então, a gente pode notar que se a gente pegar esses dois vetores aqui e combiná-los linearmente, a gente vai ter todo o R². A gente pode escrever que o espaço gerado por esses dois vetores, pelo v₁ e pelo v₂, será o quê? Será todo o nosso R². Outro ponto interessante é o seguinte, deixe-me subir aqui um pouquinho e mostrar para você. Eu disse a você o seguinte, eu disse a você que esse vetor aqui era uma combinação linear desses outros dois vetores, então, esse vetor é uma combinação linear desses outros dois vetores. Agora, eu quero saber o seguinte: qual é o espaço que eu posso gerar com esses três vetores? Qual é o espaço que eu posso gerar com v₁, v₂ e v₃? Que espaço eu posso gerar a partir deles? Somente para que você se lembre, a gente podia pegar esse vetor aqui e somar. Somando esse vetor aqui na ponta, a gente tinha exatamente esse outro vetor. Então, obviamente, eles são uma combinação linear um do outro. Essa questão pode até ser um pouco irrelevante, porque esse vetor aqui não restringe nada. Ele também não acrescenta nada, mas ele não restringe. Então, esse espaço aqui gerado por v₁, v₂ e v₃, vai continuar sendo R². O que a gente pode perceber é que a gente pode usar os três vetores, e a gente vai gerar o R², mas, na verdade, a gente só precisa de dois vetores, que nem aqui. A gente precisou de apenas dois vetores para gerar o espaço R². Então, o que eu posso dizer é que esses vetores aqui, v₁ e v₂, formam uma base, bom, eu nem queria falar muito dessa história de base, porque a gente ainda não viu isso formalmente. Na verdade, eu só queria falar quando a gente conversasse melhor sobre isso, mas eu posso dizer que isso aqui é uma base que forma todo o meu R². Então, na verdade, é uma maneira eficiente, eu não gasto nada a mais, não gasto nem um vetor a mais, para forma todo o meu R². Ao contrário daqui, que eu tenho um terceiro vetor, e esse vetor passa a ser desnecessário, ele é redundante. Esse vetor aqui, eu não preciso dele para formar o meu R². Portanto, eu poderia dizer, bom, isso aqui talvez não seja uma boa base, não é? Deixe-me só dar mais um exemplo aqui em três dimensões. Portanto, vamos dizer o seguinte, vamos dizer que eu tenha aqui o vetor [2 0 0], este aqui é o meu primeiro vetor, o vetor [2 0 0]. Eu vou fazer uma leve semelhança com esse exemplo de cima, então, vamos dizer que aqui eu tenha o vetor [0 1 0], e último seja o vetor James Bond aqui, então, vetor [0 0 7], [0 0 7], este aqui é o meu terceiro vetor. Neste caso, nós estamos trabalhando no R³, não porque eu tenho três vetores, mas porque cada vetor tem três dimensões. O que eu quero saber é o seguinte, se esses vetores são linearmente dependentes ou se eles são linearmente independentes. O que eu posso reparar, é que não tem como combinar esses dois vetores aqui que são zero, e dar 7 aqui no final. Da mesma forma, não tem como combinar esse cara e esse cara aqui, e não obter um zero aqui, porque aqui sempre vai dar zero, se eu multiplico por zero e multiplico por zero, a soma disso tem que dar zero. E, por fim, aqui também, esse cara e esse cara aqui, combinados, nunca vai dar 2 aqui, sempre vai dar zero. Portanto, esse conjunto aqui é linearmente independente. Portanto, deixe-me escrever isso aqui, então, eles são linearmente independentes. Então, é isso que significa, eles não dependem um do outro, então, linearmente independentes. Se você for reparar bem, você vai ver que nenhum desses vetores aqui estão no mesmo plano. Bom, na verdade, você sempre vai ter dois vetores no mesmo plano, mas nunca os três no mesmo plano. Deixe-me tentar dar essa ideia aqui, então, aqui você talvez tenha o vetor [2 0 0], aqui você talvez tenha o vetor [0 1 0], e aqui, por fim, você tenha o vetor [0 0 7], um vetor um pouquinho maior. Então, esses vetores estão em três dimensões, são tridimensionais, e você aprendeu lá na sua Física clássica, que eles são os vetores "i", "j" e "k". Na verdade, isso quando é [0 0 1], [1 0 0], enfim, aqui a gente está usando um valor pouco diferente, mas eles estão na mesma linha dos vetores "i", "j" e "k". O que eu posso dizer a você é o seguinte, que se você pegar esses três vetores aqui, eles nunca estarão no mesmo plano, então, você pode combiná-los linearmente. E aí, o que você vai ter? Você vai ter que o espaço gerado por eles vai ser o quê? O espaço gerado por esses três vetores aqui vai ser todo o R³. Então, deixe-me parar por aqui, porque eu estou percebendo que eu tenho feito vídeos muito grandes. Isso talvez não seja muito bom. No próximo vídeo, o que eu vou fazer é dar uma definição formal de conjuntos linearmente dependentes e independentes. Eu espero muito que você tenha gostado desse vídeo. Nos vemos nos próximos!