Divisão de expressões racionais

RKA - Divida e expresse como um número racional simplificado. Defina o domínio. Começamos com essa expressão... Na verdade, a gente tem uma expressão racional dividida por outra expressão racional, e como já vimos várias outras vezes, essas expressões racionais não são definidas quando os seus denominadores são iguais a zero. "p + 5" não pode ser igual a zero. Se subtrair - 5 dos dois lados disso... Se subtrair - 5 dos dois lados, você tem "p" que não pode ser igual a... Esses se cancelam... - 5. É isso que essa desigualdade nos diz. Desse lado dá para fazer o mesmo. "4p + 20" também não pode ser igual a zero. Se fosse, essa expressão seria indefinida. Subtraia 20 dos dois lados, 4p não pode ser igual a - 20, divida os dois lados por 4, p não pode ser igual a - 5. Nas duas situações, "p" sendo igual a - 5 tornaria qualquer uma dessas expressões racionais como indefinidas. Então, o domínio é o conjunto de todos os reais como... Ou "p" é igual ao conjunto de todos os reais, de forma que "p" não seja igual a - 5, ou, basicamente, todos os números exceto o - 5. Todos os números reais. Determinamos o domínio, então agora vamos simplificar esta expressão. Quando você divide por uma fração, ou uma expressão racional, é a mesma coisa que multiplicar pelo inverso. Vou só reescrever. "2p + 6 sobre p + 5" dividido por "10 sobre 4p + 20" é igual a multiplicar pelo recíproco, multiplicando por "4p + 20 sobre 10". Mudei a divisão para uma multiplicação e troquei esse carinha aqui. Agora, isso vai ser igual a "2p + 6 vezes 4p + 20" no numerador. Eu não vou pular muitos passos, só escrever isso "(2p + 6) vezes (4p + 20)" no numerador. E então, "(p + 5) vezes 10" no denominador. Agora, para saber se podemos simplificar, é preciso fatorar completamente todos os termos no numerador e no denominador. No numerador "2p + 6", dá pra fatorar o 2, então a gente pode reescrever "2p + 6" como: "2 vezes (p + 3). Então, "4p + 20", a gente reescreve. Podemos fatorar um 4 como "4 vezes (p + 5). A gente tem o "p + 5" aqui embaixo no denominador, tem esse "p + 5". A gente pode simplesmente escrever no denominador. Mesmo o 10, dá pra fatorar ainda mais os seus fatores primos. Podemos fatorar 10 em 2 vezes 5, isso é igual a 10. 2 vezes 5. Vamos ver o que podemos simplificar. Claro! Todo esse tempo, tem que lembrar do detalhe de que "p" não pode ser igual a - 5. Tem que lembrar dessa restrição no domínio para que ele possa ser a mesma expressão com a qual começamos. Agora dá pra cancelar isso? Tem um 2 dividido por um 2, se cancelam... Tem um "p + 5" dividido por um "p + 5", sabemos que "p + 5" não vai ser igual a zero por causa dessa restrição, então podemos cancelar. O que sobrou? No numerador tem "4 vezes (p + 3), e no denominador, só tem esse 5. E pronto. A gente poderia escrever como "4 sobre 5 vezes (p + 3)", ou da forma que fizemos aqui, mas não queremos nos esquecer que tem que lembrar da restrição. "p" não pode ser igual a - 5 para que seja matematicamente equivalente a isto aqui. Fui!