Visão do teorema de divergência 3D

RKA2JV - E aí, galera da Khan Academy! Neste vídeo, daremos início ao estudo do teorema da divergência em 3D. E, antes de irmos a fundo na parte algébrica deste teorema, vamos primeiro tentar entender as variáveis envolvidas neste conceito e os seus propósitos. Nós já exploramos o teorema da divergência em 2D. Então, lembrando: se eu tenho uma certa região aqui, vamos chamar de região R, esta região possui um limite, que nós iremos chamar de C. E, havendo um campo vetorial F nesta região, que nós iremos desenhar aqui, o teorema da divergência bidimensional, que foi derivado do teorema de Green, nos diz que a soma do fluxo através do limite da região, que é dado por F, produto escalar, o vetor normal a esta região vezes o infinitesimal dr, lembrando aqui que é a integral que representa a soma desses fluxos, essa soma é igual à integral dupla da divergência de F vezes o infinitesimal da área daquela região, que usaremos aqui o dA, mas também pode ser dx/dy. Através desta equação, nós já podemos ter uma boa intuição de como funciona o teorema da divergência. E você pode notar aqui, pela maneira que eu desenhei este campo vetorial, saindo totalmente da região R, nós teríamos aqui uma divergência positiva, portanto, gerando um fluxo positivo, já que o sentido dos vetores do campo corresponde ao sentido dos vetores normais do limite da nossa região. A partir disso, nós podemos dizer que estas duas grandezas são diretamente proporcionais. Quanto maior for a divergência em F, maior será o fluxo através desta região. Mas e se nós mudássemos um pouco este campo vetorial? Digamos aqui que seja um campo com pouquíssima ou nada de divergência, como este que estamos desenhando. Podemos ver, nesta parte do limite da região, que teríamos um fluxo positivo, já que, assim como no último exemplo, teríamos um vetor do campo no mesmo sentido que os vetores normais à região. Já nesta outra metade aqui, da esquerda, teríamos um fluxo negativo, já que o sentido dos vetores do campo entrando na região é contrário ao sentido dos vetores normais à região. Com isso, podemos concluir que o fluxo na região é zero, já que, se imaginarmos estes vetores do campo sendo massa, ou densidade por volume, a massa entraria por este lado da região e sairia pelo lado direito aqui, não ficando acumulada na área. Já neste exemplo anterior, considerando também os vetores como massa, nós teríamos apenas massa saindo da região R. Continuando aqui no exemplo 2D, nós poderíamos pensar em uma terceira região, região essa que possui divergência negativa, ou poderíamos chamar até de convergência. E também o fluxo através de toda esta região será negativo, já que, ao longo de todo o limite, os sentidos dos vetores do campo são opostos aos sentidos dos vetores normais à região. Com isso, nós conseguimos ter uma boa ideia de como o fluxo através de uma região e a divergência do campo vetorial presente naquela região se relacionam. Agora, o que nós precisamos fazer é relacionar esse conceitos 2D com o 3D. Então, vamos aqui pensar não mais em uma região, mas sim em um volume, um sólido em 3D. E, por convenção, vamos chamar novamente esse volume de R. Dessa forma, o nosso limite se transforma em uma superfície, superfície esta que nós chamaremos de S. E, novamente, temos um campo vetorial presente neste volume, ou região 3D, e vamos imaginar primeiramente um campo com divergência positiva. Então, teremos todos estes vetores saindo do volume R. Podemos dizer até que se trata de uma fonte de vetores aqui do nosso campo. E uma outra coisa que temos que estabelecer aqui é que os vetores normais estão saindo da região dada, já que, por convenção, nós poderíamos adotar todos os vetores entrando na região. E agora, nós apenas iremos extrapolar as equações dos conceitos do bidimensional para o tridimensional. Então, a soma de fluxo: teremos a integral do campo vetorial F, produto escalar "n", vezes um pedaço infinitesimal desta superfície. O infinitesimal aqui não será mais dr, e sim dA. Teremos que esta soma será igual à integral tripla da divergência de F, mas não mais por dA, e sim por dv, que é um infinitesimal, um pedacinho muito pequeno, do nosso volume de R. Só voltando aqui para diferenciar um pouco o bidimensional e o tridimensional, lá no exemplo 2D, nós tínhamos o limite que era uma curva. Aqui no tridimensional, é uma superfície. Por isso mudamos o infinitesimal ali de "dr" para "dA". E, por sua vez, aqui na equação da direita, no 2D, nós somamos as divergências na região e, no 3D, somamos as divergências no volume. Mas a lógica utilizada é a mesma. Continuando a análise que fizemos para o 2D, vamos pensar em outros campos vetoriais. Nesta segunda hipótese aqui, teríamos também uma parte da superfície tendo um fluxo positivo e uma parte da superfície tendo um fluxo negativo, que se cancelariam, dando para nós um fluxo total muito próximo ou igual a zero. E, no exemplo aqui da convergência, teríamos também um fluxo negativo, já que, novamente, os vetores do campo estariam na direção contrária dos vetores normais que definimos anteriormente. Galera, a partir deste vídeo, espera-se que vocês tenham uma boa intuição sobre do que se trata e como se dá o teorema da divergência no tridimensional. Então, é isso, galera. Até o próximo vídeo!