Demonstração do teorema de Stokes - parte 7

RKA3JV - Olá, pessoal! Tudo bem? Em uma de nossas aulas, você deve ter visto essa situação em que expressamos a integral curvilínea ao redor da fronteira da superfície. Este "F" ponto "dr" é onde o caminho é a fronteira que fica na parte de cima do gráfico. Expressamos isso em termos de integral curvilínea ao redor da fronteira, ao longo do caminho c₁, que faz fronteira com a região "r". E o motivo disso ser tão importante para nós é que isso permite que apliquemos o Teorema de Green. Para transformar isso em uma dupla integral faz a fronteira. E agora, vamos aplicar o Teorema de Green. Mas para não confundir muito, eu vou separar esta parte da esquerda, já que ela serve somente como lembrete. Pois bem, ao aplicar o Teorema de Green, vamos ter o mesmo que uma dupla integral sobre a região que c₁ faz fronteira, na região "r" no nosso plano (x, y). Assim, temos a parcial em relação a "x" de "Q + RZ" em relação à "y", menos a parcial em relação a y(p +R). vezes a parcial de "z" em relação a "x". Por fim, colocamos dA, dA que é uma pequena diferencial em nossa região. E para calcular isso, vamos pegar as parciais de cada uma dessas impressões. Expandi-las, simplificar e ver se conseguimos algo semelhante à expressão que temos lá em cima. E esta integral curvilínea, neste caso em especial, vai provar para nós o Teorema de Stokes. E por ser um caso especial, vamos aplicar os operadores de derivada parcial. Então, primeiro, queremos pegar a derivada parcial em relação a "Q". Para isso, lá em cima, temos a expressão P, Q e R. Em que cada um deles são funções de (x, y, z). E assumimos que eles são representados dessa forma, porém, caso "z" não fosse uma função de "x", iríamos pegar a parcial de "Q" em relação a "x", mas neste contexto todo o que acontece é que assumimos que "z" em si é uma função de "x" e "y". Assim, se vamos pegar a parcial em relação a "x", precisamos pensar primeiro em como o "Q" muda em relação a "x" e como isso pode mudar dada outras coisas que mudam por causa de "x". E uma destas coisas que poderiam mudar por causa de "x" é "z", já que ele é uma função de "x". Por isso, vamos usar a regra de cadeia multivariável. Desta forma, ao tentar pegar a derivada dessa parte, vamos conseguir essencialmente toda a função em relação a "x". E, assim como eu disse antes, precisamos pensar em como o "Q" pode ser mudado e também pode mudar outras variáveis por causa de alterações em "x". E a outra única variável em que "Q" é uma função e pode ser alterada dada uma mudança em "x", é o "z". E isso significa que o nosso "Q" poderia mudar para "z", já que o "z" foi mudado pelo "x". E caso fôssemos reescrever o "Q", de forma que "z" fosse substituído com "x" e "y", já que "z" é uma função de "x" e "y", nós iríamos escrever somente o primeiro termo. Mas assumimos que isso é expresso como uma função de "x", "y" e "z", com "z" em si como uma função de "x". Por isso que usamos a regra de cadeia multivariável. Para a próxima parte, ambos os termos talvez tenham um "x" dentro de si, por isso vamos usar a regra do produto. Primeiro, podemos pegar a derivada de "r" em relação a "x" e, depois, multiplicar isso por "z" sobre "y". Depois, pegamos a derivada a de z/y em relação a "x" e multiplicamos por "r". Desta forma, se pegamos a derivada em relação a "x", com a mudança por causa de "x" e "y", vamos ver mais uma vez como "z" muda por causa de "x". E isso é a regra de cadeia multivariável em ação, mas é claro que pegamos a derivada dos primeiros termos vezes os segundos termos. Assim, temos a parcial de "z" em relação a "y", mais a derivada do segundo termo que é "z" em relação a "y". Daí pegamos a parcial disso em relação a "x". Assim, esta é a parcial em relação a "x" destas expressões. E precisamos subtrair com essa parcial em relação a "y". Não muda do que fizemos até agora. Eu vou colocar um parêntese, o que permite que "p" mude diretamente por causa de "y". Por isso, podemos falar que é a parcial de "p" em relação a "y". Mas ela também muda pela mudança de "z" por causa de "y". Então, é mais a parcial em relação a "z", vezes a parcial de "z" em relação a "y", mais a derivada que descobrimos enquanto fazíamos em relação a "x". Mas, desta vez, será em relação a "y". Assim, a parcial de "r" em relação a "y", mais a parcial de "r" em relação a "z", vezes a parcial de "z" em relação a "y", vezes z/x mais a derivada do segundo termo vezes o primeiro. Ou seja, a derivada da parcial de "z" em relação a "x", em relação a "y" multiplicado por "r". E um lembrete legal é que tudo isso que fizemos aqui está na parte de dentro da integral dupla. Assim que tudo estiver um pouco mais claro, eu vou reescrever a integral e o dA. Mas agora eu vou reescrever as informações que temos de uma forma mais simples. E sendo bem franco com vocês, é só uma questão de álgebra. A parcial de "Q" em relação a "x", mais a parcial de "Q" em relação a "z", vezes a parcial de "z" em relação a "x", mais a parcial de "r" em relação a "x", vezes a parcial de "z" em relação a "y", mais a parcial de "r" em relação a "z", vezes a parcial de "z" em relação a "x", vezes a parcial de "z" em relação a "y", mais a parcial de "z" em relação a "y", e em relação a "x" vezes "r". Agora, vamos subtrair as coisas. Então, menos a parcial de "p" em relação a "y", menos a parcial de "p" em relação a "z", vezes a parcial de "z" em relação a "y". E subtraímos disso a parcial de "r" em relação a "y", vezes a parcial de "z" em relação a "x". Daí temos a parcial de "r" em relação a "z", vezes a parcial de "z" em relação a "y", vezes a parcial de "z" em relação a "x". Ou seja, a derivada da parcial de "z" em relação a "x", em relação a "y". Daí, em relação a "r". Agora, vamos para a parte em que simplificamos as coisas. Temos estes dois termos que são iguais e basicamente podemos cancelá-los. E isso é porque assumimos lá no começo que temos derivadas de segunda ordem contínuas na função "z", "z" que é uma função de (x, y). Isso significa que outros dois termos se cancelam. Agora, eu vou tentar escrever os termos de forma que comecem a fazer algum sentido e, de alguma forma, que fique parecido com a expressão que temos em que os termos tem "z/x" ou "z/y". Desta forma, temos este termo e temos este outro. E podemos fazer a fatoração de z/x. Agora, vamos conseguir a parcial de "z" em relação a "x", vezes a parcial de "Q" em relação a "z", menos a parcial de "r" em relação a "y". Depois, este termo e este outro termo, eles se tornam a parcial de "z" em relação a "y", vezes a parcial de "r" em relação a "x", menos a parcial de "P" em relação a "z". Por fim, temos os últimos dois termos, mais a parcial de "Q" em relação a "x", menos a parcial de "P" em relação a "y". Isto aqui é o que está dentro de nossa integral dupla, então, eu vou reescrevê-la. Com o Teorema de Green e a regra de cadeia multivariável, podemos dizer que esta integral de linha ao longo da fronteira de uma superfície é o mesmo que a expressão. E conseguimos! E podemos ver que é idêntico à expressão de cima. E, neste caso em especial, de forma simplificada, sabemos agora que nossa integral curvilínea é igual à nossa integral da superfície. E é isso, pessoal! Eu espero que tenham aprendido, e até a próxima!