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Curso: Cálculo multivariável > Unidade 5

Lição 6: Teorema de Stokes (artigos)

Teorema de Stokes

Essa é a versão 3d do teorema de Green, relacionando a integral de superfície do rotacional de um campo vetorial a uma integral de linha ao redor da fronteira dessa superfície.

Conhecimentos prévios

Não é estritamente necessário, porém é de grande ajuda para uma compreensão mais profunda:

Definição formal de rotacional em três dimensões

Este artigo é para se ter uma noção física intuitiva

Se você quiser exemplos do uso do Teorema de Stokes para fazer cálculos, poderá encontrá-los no próximo artigo. Aqui, o objetivo é apresentar o teorema de uma forma que você possa ter uma noção intuitiva sobre o que ele realmente diz e por que ele é verdadeiro.

O que estamos construindo

O Teorema de Stokes é a versão 3D do Teorema de Green.

Ele relaciona a integral de superfície do rotacional de um campo vetorial à integral de linha desse mesmo campo vetorial em torno da fronteira da superfície:

$\overset{\begin{matrix} Integral de superfície de \\ um rotacional de campo vetorial \end{matrix}}{\overset{⏞}{\underset{S é uma superfície em 3D}{\underset{⏟}{\iint_{S}}} (rotacional F \cdot \hat{n}) d Σ}} = \underset{\begin{matrix} Integral de linha ao redor da \\ fronteira da superfície \end{matrix}}{\underset{⏟}{\int_{C} F \cdot d r}}$ ‍
$F (x, y, z)$ ‍ é um campo vetorial tridimensional.
$rot F$ ‍ significa o mesmo que $\nabla \times F$ ‍. É o rotacional tridimensional de $F$ ‍, que é um campo vetorial.
$S$ ‍ é uma superfície em três dimensões.
$\hat{n}$ ‍ representa uma função que fornece vetores unitários normais a $S$ ‍.
$C$ ‍ é a fronteira de $S$ ‍
$C$ ‍ é orientada usando a regra da mão direita, o que significa que se você apontar o polegar da sua mão direita na direção do vetor normal unitário $\hat{n}$ ‍ próximo à borda de $S$ ‍ e curvar seus dedos, a direção que eles apontam indica a direção em que você deve integrar em torno de $C$ ‍.

Interpretação de uma integral de linha em 3D

Considere

F (x, y, z)

um campo vetorial tridimensional.

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Pense nesse campo vetorial como sendo o vetor velocidade de um gás, movendo-se pelo espaço.

Agora, considere

C

uma curva fechada dentro desse campo vetorial.

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Como você pode interpretar a integral de linha de

F

em torno de

C

$\oint_{C} F \cdot d r$ ‍

Primeiramente, essa integral não faz sentido até que a curva esteja orientada. O vetor diferencial

d r

representa um pequeno passo ao longo da curva, mas em qual direção? Em três dimensões, você não pode simplesmente dizer no "sentido horário" ou no "sentido anti-horário", já que isso dependerá de onde você estará no espaço quando olhar para a curva. Vou abordar como especificamos matematicamente a orientação abaixo, mas, por enquanto, é mais fácil apenas traçarmos uma orientação:

Imagine que você é um pássaro, voando pelo espaço ao longo da curva

C

enquanto o vento sopra de acordo com o campo vetorial

F

. (Para os efeitos dessa animação, você é um pássaro em forma esférica).

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Pense em cada passo (ou batida de asa?) do seu movimento ao longo de

C

como sendo o pequeno vetor

d r

. Considere o produto escalar entre

d r

e o vetor velocidade do vento do campo

F

onde você está. Ele será positivo quando o vento estiver lhe ajudando, e negativo quando estiver batendo contra o seu rosto.

Agora, voltemos à integral de linha sobre a qual inicialmente perguntei:

$\oint_{C} F \cdot d r$ ‍

Você pode pensar nisso como especificando o quanto o vento está lhe ajudando ou atrapalhando durante o voo. Ela mede a tendência do fluxo do fluido para circular por $C$ ‍. Se ela for positiva, o vento esteve geralmente ajudando, e você pode dizer que ela tende a circular por

C

na direção que você especificou. Se for negativa, você pode dizer que ela tende a circular na outra direção.

Dividindo uma superfície

Aqueles que leram o artigo sobre o teorema de Green acharão o que vem a seguir muito familiar.

Considere uma superfície

S

no espaço sendo delimitada pela curva

C

, como se

C

fosse um laço de arame que você acabou de mergulhar no sabão, e

S

fosse o início de uma bolha de sabão emergindo do laço.

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Divida essa superfície ao meio, e nomeie as fronteiras das duas partes resultantes

C_{1}

C_{2}

. Se elas estiverem orientadas da mesma maneira que

C

, as integrais de linha (do mesmo campo vetorial

F

) ao redor de cada uma dessas curvas menores se anularão ao longo da divisão que você fez:

As porções de

C_{1}

C_{2}

que permanecem compõem a fronteira original

C

. Então, a soma das integrais de linha em torno das partes menores é igual à integral de linha completa em torno de

C

$\underset{Anule ao longo da divisão S}{\underset{⏟}{\oint_{C_{1}} F \cdot d r + \oint_{C_{2}} F \cdot d r}} = \oint_{C} F \cdot d r$ ‍

De forma mais geral, imagine-se dividindo

S

em muitos, muitos pedacinhos; nomeando suas fronteiras como

C_{1}, \dots, C_{n}

; e orientando todas da mesma forma que

C

. É complicado desenhar isso em 3D, então vou simplesmente roubar uma imagem do artigo sobre o teorema de Green que mostra a versão 2D, já que ambas dão essencialmente a mesma ideia.

As integrais de linha em torno de todos esses pequenos laços se anularão ao longo das divisões dentro de

C

, deixando somente algo igual à integral de linha em torno do próprio

C

$\underset{anula-se ao longo de sua divisão por S}{\underset{⏟}{\sum_{k = 1}^{n} \oint_{C_{k}} F \cdot d r}} = \oint_{C} F \cdot d r$ ‍

Rotacional sobre cada parte

Divide-se

S

assim porque a integral de linha em torno de um laço bem pequeno pode ser aproximada usando o rotacional. Especificamente, ampliamos uma dessas partes. Se for suficientemente pequena, você pode pensar nela como sendo praticamente plana.

Dê o nome de $‘ ‘ C_{k} "$ ‍ à fronteira dessa parte.
Escolha algum ponto $(x_{k}, y_{k}, z_{k})$ ‍ na superfície, dentro desse pequeno laço.
Considere $\hat{n}$ ‍ um vetor normal unitário à superfície no ponto $(x_{k}, y_{k}, z_{k})$ ‍. "Apontando para onde? ", você pode perguntar. Rotacione os dedos de sua mão direita em torno do pequeno laço $C_{k}$ ‍ para que se alinhem à sua orientação. Estique seu dedão, e esse será o sentido de $\hat{n}$ ‍.
Considere $d Σ$ ‍ a área dessa pequena parte (preparando para a utilização de uma área infinitesimal para uma integral de superfície que será vista daqui a pouco).

Então, a integral de linha de

F

em torno de

C_{k}

pode ser aproximada da seguinte forma:

$\underset{\begin{matrix} Integral ao longo da \\ fronteira da parte \end{matrix}}{\underset{⏟}{\oint_{C_{k}} F \cdot d r}} \approx \overset{Componente do rotacional perpendicular à parte}{\overset{⏞}{((rot F (x_{k}, y_{k}, z_{k})) \cdot \hat{n})}} \underset{Área da parte}{\underset{⏟}{d Σ}}$ ‍

Se você se sentir incomodado com sua intuição sobre o que significa rotacional, ou sobre como um vetor pode representar uma rotação, considere fazer uma revisão deste artigo sobre rotacional.

Aqui temos uma vaga intuição do porquê essa aproximação funciona:

rot F (x_{k}, y_{k}, z_{k})

é um vetor que diz como o fluido que está se movimentando pelo campo vetorial

F

tende a girar perto do ponto

(x_{k}, y_{k}, z_{k})

. Por exemplo, se você imaginar uma pequena bola de tênis flutuando no espaço, centrada no ponto

(x_{k}, y_{k}, z_{k})

, o vetor

rot F (x_{k}, y_{k}, z_{k})

descreverá a forma como ela tenderá a girar devido ao vento que sopra ao seu redor. Isto é, o vetor é direcionado ao longo do eixo de rotação, e sua magnitude é proporcional à taxa de rotação.

Quando pegamos o produto escalar entre esse vetor rotacional e

\hat{n}

, o vetor normal unitário à superfície, ele extrai a componente do vetor rotacional perpendicular à superfície. Isso descreverá a taxa de rotação do fluido na superfície em si. Por outro lado, aquela pequena rotação do fluido também é descrita pela integral de linha em torno da fronteira da pequena parte:

\oint_{C_{k}} F \cdot d r

Na verdade, aquela integral de linha produz um número bem pequeno (já que

C_{k}

é muito curto), mas o

rot F (x_{k}, y_{k}, z_{k})

produz um número que não se importa com o tamanho da parte que contém

(x_{k}, y_{k}, z_{k})

. Por isso nós reduzimos a componente relevante do rotacional para a escala da área da parte pequena.

$\underset{\begin{matrix} Integral ao longo da \\ fronteira da parte \end{matrix}}{\underset{⏟}{\oint_{C_{k}} F \cdot d r}} \approx \overset{Componente do rotacional perpendicular à parte}{\overset{⏞}{((rot F (x_{k}, y_{k}, z_{k})) \cdot \hat{n})}} \underset{Área da parte}{\underset{⏟}{d Σ}}$ ‍

(Para um entendimento mais aprofundado dessa aproximação, veja a definição formal de rotacional em três dimensões.)

Integral de superfície de um rotacional

Ao combinarmos as ideias das duas últimas seções, obtemos:

$\begin{aligned} \underset{\begin{array}{c} Integral ao longo da fronteira \\ da superfície inteira \end{array}}{\underset{⏟}{\oint_{C} F \cdot d r}} \\ ↓ \\ \underset{Soma das integrais ao longo das partezinhas}{\underset{⏟}{\sum_{k = 1}^{n} \oint_{C_{k}} F \cdot d r}} \\ ↓ \\ \underset{Aplica-se a aproximação do rotacional a cada parte}{\underset{⏟}{\sum_{k = 1}^{n} rot F (x_{k}, y_{k}, z_{k}) \cdot \hat{n} d Σ}} \end{aligned}$ ‍

Conforme dividimos as coisas de maneira cada vez mais fina, essa última soma se aproxima da integral de superfície do

(rot F \cdot \hat{n})

sobre a superfície

S

. (Se isso não faz sentido para você, considere rever o artigo sobre integrais de superfície).

$\begin{aligned} \sum_{k = 1}^{n} rot F (x_{k}, y_{k}, z_{k}) \cdot \hat{n} d Σ \\ ↓ Conforme S é dividida em partes cada vez mais finas \\ \iint_{S} rot F \cdot \hat{n} d Σ \end{aligned}$ ‍

Ao juntarmos tudo isso, obtemos a maravilhosa equação a seguir, conhecida como teorema de Stokes:

$\begin{array}{r} \oint_{C} F \cdot d r = \iint_{S} rot F \cdot \hat{n} d Σ \end{array}$ ‍

Ok, alguns de vocês podem questionar por que eu comecei com uma aproximação para a integral de linha ao redor de cada parte e agora estou tirando uma conclusão usando uma equação com aproximação livre; e vocês têm razão em fazer tal indagação.

No artigo sobre o Teorema de Green, que envolve uma linha de raciocínio quase idêntica, mas em duas dimensões, eu ofereci algumas anotações para entrar em detalhes sobre como a aproximação desaparece. Se você estiver curioso, eu o incentivo a voltar para essa mesma linha de raciocínio e pensar em como ela funciona para o Teorema de Stoke e para as integrais de superfície.

Esse exercício também ser mostrará mais claro se você o fizer sabendo a definição formal de rotacional em três dimensões.

Alinhando a orientação

Superfícies são orientadas pelo sentido escolhido para seus vetores normais unitários. Por exemplo, você verá com frequência uma superfície orientada usando o vetor normal unitário voltado para fora (embora nem todas as superfícies tenham uma noção de vetores normais unitários voltados para fora versus voltados para dentro).

As curvas são orientadas pelo sentido escolhido para seus vetores tangentes.

Para o teorema de Stokes funcionar, as orientações da superfície e de suas fronteiras devem "se equivaler" na direção certa. De outra forma, a equação estará errada por um fator de

- 1

. Confira aqui formas diferentes nas quais você ouvirá pessoas descreverem essa correspondência; todas estão descrevendo a mesma coisa:

Se você olhar para a superfície de forma que todos os vetores unitários normais estejam apontados para você, a curva deve estar orientada no sentido anti-horário.
A orientação da curva deverá seguir a regra da mão direita, de forma que se você esticar o polegar da sua mão direita na direção do vetor normal unitário perto da borda da superfície, e curvar seus dedos, a direção que eles apontam deve ser sua orientação.
Quando você andar ao longo da curva da fronteira com seu corpo apontado na direção do vetor normal unitário, você deverá estar andando de forma que a superfície esteja do seu lado esquerdo.

Soprando bolhas

Esta é uma coisa muito legal sobre o teorema de Stokes: a superfície em si não importa, o que importa é qual a sua fronteira.

Por exemplo, imagine um laço específico no espaço, e pense em todas as diferentes superfícies que poderiam ter esse laço como sua fronteira; todas as diferentes bolhas de sabão que poderiam emergir desse laço:

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Para qualquer campo vetorial

F (x, y, z)

dado, a integral de superfície

\iint_{S} rot F \cdot \hat{n} d Σ

será a mesma para todas essas superfícies. Isso não é uma loucura?! Essas integrais de superfície envolvem a soma de valores completamente diferentes em pontos completamente diferentes no espaço, ainda que eles acabem por ser iguais simplesmente porque compartilham uma fronteira.

Isso diz simplesmente o quão especial os campos vetoriais rotacionais são, já que, com a maioria dos campos vetoriais, a integral de superfície depende absolutamente da superfície específica em mãos. Se você aprendeu sobre campos vetoriais conservativos, isso é análogo à independência de caminhos, e a como ela indica o quão especiais são campos vetoriais gradientes.

E se não houver fronteiras?

Se você tem uma superfície fechada, como uma esfera ou um toro, então não existem fronteiras. Isso significa que a "integral de linha sobre a fronteira" é igual a zero, e lê-se teorema de Stokes da seguinte maneira:

$\begin{array}{r} \iint_{S} rot F \cdot \hat{n} d Σ = 0 \end{array}$ ‍

Se você voltar ao pensamento que dividiu a superfície para obter várias integrais de linhas bem pequenas, isso basicamente diz que todas aquelas pequenas integrais de linha se anulam, sem resto.

Resumo

O Teorema de Stokes é a versão 3D do Teorema de Green.

$\overset{\begin{matrix} Integral de superfície de \\ um campo vetorial rotacional \end{matrix}}{\overset{⏞}{\underset{S é uma superfície em 3D}{\underset{⏟}{\iint_{S}}} (rot F \cdot \hat{n}) d Σ}} = \underset{\begin{matrix} Integral de linha ao longo \\ da fronteira da superfície \end{matrix}}{\underset{⏟}{\int_{C} F \cdot d r}}$ ‍

A integral de linha $\int_{C} F \cdot d r$ ‍ diz o quanto um fluido que flui ao longo de $F$ ‍ tende a circular em torno da fronteira $C$ ‍ da superfície $S$ ‍.
A integral de superfície do lado esquerdo pode ser vista como a soma de todas as pequenas partes da rotação do fluido na superfície $S$ ‍ em si. O vetor $rot F$ ‍ descreve a rotação do fluido em cada ponto e, pontilhando-o com um vetor normal unitário à superfície, $\hat{n}$ ‍, extrai a componente dessa rotação do fluido que acontece na superfície em si.

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