Integrais duplas 1

RKA22JL - E aí, pessoal, tudo bem? Nessa aula, nós vamos conversar a respeito de integrais duplas e até agora nós já vimos que a integral pode ser utilizada para calcular a área sob uma curva. Mas se você não lembra, vamos dar uma revisada aqui rapidinho. E, para isso, digamos que você tenha um plano cartesiano aqui com o eixo x e o eixo y, e tem uma função “y” igual a “f(x)”, se eu quiser descobrir a área sob a curva de x igual a “a” até x igual a “b”, nós queremos saber essa área aqui. Para isso, eu divido ela em vários retângulos, onde cada retângulo é desse jeito. E como podemos calcular a área de um retângulo? Base vezes altura, correto? E essa base eu vou chamar de “dx” porque é uma pequena variação apenas. Uma variação infinitesimal. E a altura é o correspondente “y” que eu vou chamar de “f(x)”. Mas, como eu disse, é só um retângulo e, nessa área, tem vários retângulos. Como eu posso somar todos eles? Ou seja, tem um retângulo aqui e outro aqui e outro aqui. Essa área é construída por infinitos retângulos bem pequenos. E aí, para representar essa soma, nós utilizamos este símbolo, que é de integral, que vai de “a” até “b” de “f(x)dx”, que representa a área de cada retângulo. É assim que representamos a área sob essa curva de “a” até “b”. Claro, isso é só uma revisão, mas isso vai te ajudar a entender como calcular o volume abaixo de uma superfície. Primeiramente, o que é uma superfície? Se pensarmos em três dimensões, nós vamos ter uma função f(x,y). Ou seja, em vez de termos y igual a f(x), vamos ter uma função do tipo z igual a f(x,y). Por causa disso, você tem que tomar cuidado com o domínio. Nesse caso, o domínio era restrito somente à variável “x”. E agora o nosso domínio é o plano x,y. Ou seja, nós pegamos um valor para “x” e um valor para “y” e substituímos na função e, com isso, vai aparecer um outro número, que vai ser o “z”. Esse “z” é a altura da superfície. Deixa eu desenhar a superfície aqui. Este é o eixo x. Este, o eixo y. E, este, o eixo z. A nossa superfície vai ser algo mais ou menos assim. Então a nossa superfície “z” é essa aqui, que está em função de “x” e “y”. Então, por exemplo, se você tivesse uma coordenada “x,y” aqui, você a colocaria na função, e aí, nós teríamos o valor de “z” bem aqui nessa superfície. Para calcular o volume dela, nós precisamos especificar os limites, correto? Aqui, por exemplo, nós tínhamos um limite de “a” até “b” e eu posso fazer uma fronteira quadrada para simplificar a nossa vida. Digamos que a nossa região é essa aqui. Claro que desenhar isso não é uma tarefa tão fácil, mas deixa eu tentar fazer o melhor. Algo mais ou menos assim. E a projeção da superfície no plano “x,y” vai ser essa aqui. Vai ser uma sombra. Aí eu pergunto, quais são os limites? Esse aqui é o ponto zero zero no plano “x,y”. Esse aqui eu posso dizer que é o y igual a “a”. Isso porque essa reta é a reta y igual a “a”. Já essa aqui, eu posso dizer que é a reta x igual a “b”. Ou simplesmente dizer que é igual a “b”. Esses são os nossos de limites. Agora, como podemos descobrir o volume abaixo dessa superfície? Para isso, utilizamos essa área aqui, que é como uma fatia sem espessura, como se fosse uma folha de papel. Isso tudo em função de “y”. Eu posso pensar nisso do mesmo jeito que eu pensei aqui. Eu poderia pegar uma pequena variação em “x” e construir um retângulo com uma altura que seria uma função de “x” do “y” que eu escolhi. Então eu peguei um y qualquer, vou pegar uma fatia dessa folha de papel e, dentro dessa fatia, eu vou pegar uma fatia infinitamente pequena com uma variação de “x”. Com isso, eu calcularia a área de toda essa figura com infinitos retângulos. Nesse caso, nós trabalhamos como se o “y” fosse uma constante. Toda essa superfície tem um volume, e é como se pegássemos uma folha de papel desse volume. Então a área de um retângulo desse seria a altura, que é “f(x,y)” e multiplicamos pela base, que nesse caso é a pequena variação em “x”. Então, vezes “dx”. Se quisermos saber toda essa área laranja, nós calculamos a soma desses infinitos retângulos de zero até “b”. Ou seja, a integral de zero até “b” de “f(x,y)dx”. Isso vai nos dar uma função de “y”. Para calcular o volume dessa figura, nós utilizamos a soma dessas infinitas folhas de papel. Basicamente, se você tiver um “y”, você tem a área dessa folha de papel, entre aspas, que corresponde a esse “y”. E o que acontece se eu multiplicar essa área por “dy”? Se você multiplicar a área dessa folha de papel por uma pequena variação no “y”, você vai ter uma porção fina de volume. Essa parte que eu estou pintando vai ser uma pequena porção do volume abaixo da superfície. Então o volume vai ser essa área, que é a integral de zero até “b” de “f(x,y)dx” vezes o “dy”. Agora, note que nós só pegamos uma porção de volume, e se quisermos saber o volume abaixo de toda a superfície, nós podemos somar essas infinitas partes. Isso é a mesma coisa que utilizar a integral. Então, utilizamos a integral de zero até “a”. E é daí que surgimos com a ideia de integral dupla. Eu espero que essa aula tenha os ajudado e até a próxima, pessoal!