Representando pontos em 3d

RKA2MP - Olá, meu amigo ou minha amiga! Tudo bem com você? Seja muito bem-vindo ou bem-vinda a mais um vídeo da Khan Academy Brasil. Neste vídeo, vamos conversar sobre funções multivariáveis e representação de pontos em 3D. Muitas das formas que nós representamos funções multivariáveis é através de pontos em três dimensões e de vetores em três dimensões. Sabendo disso, eu pensei em fazer um pequeno vídeo para te mostrar como podemos descrever pontos e vetores em três dimensões. Mas antes disso, é importante começar descrevendo pontos e vetores em duas dimensões, considerando que, se você está aprendendo sobre cálculo multivariável, você pode querer saber em alguns momentos sobre o ponto que está sendo considerado. Talvez você até já saiba representar pontos e vetores em duas dimensões, mas é importante a gente começar por aqui. Porque, se você compreender bem como fazer essas representações, você pode começar a utilizar as ideias que você aprendeu em duas dimensões para fazer uma representação em três dimensões, ou até mesmo começar a ver certos padrões em duas ou três dimensões e como isso poderia se estender para outras dimensões que a gente não consegue necessariamente visualizar. Vamos começar a pensar nisso tudo aqui agora. Por exemplo, se em duas dimensões temos algum ponto, normalmente representamos isso através de um eixo "x" e um eixo "y", que são perpendiculares entre si. Além disso, representamos esse ponto com um par de números. Neste caso aqui, podemos ter algo como (1, 3). O que isso representa está dizendo que você precisa se mover uma certa distância ao longo do eixo "x" e depois uma certa distância ao longo do eixo "y". Então, por exemplo, vamos dizer que esta distância é igual a 1 e esta distância é igual a 3. Pode não ser exatamente do jeito que eu desenhei, mas vamos dizer que estas sejam as coordenadas. Isso significa que cada ponto no espaço bidimensional pode receber um par de números como este. Você pode pensar neles como instruções que estão meio que te dizendo a distância para caminhar em uma direção e a distância para caminhar em outra direção. Claro, você também pode pensar no inverso disso. A ideia é a mesma. Mas o importante aqui é que, sempre que você tem um par de coisas, um par de números, você deve pensar nisso como uma forma bidimensional. E isso é realmente uma ideia surpreendentemente poderosa, que eu aprecio há muito tempo. Principalmente porque essa relação de pares de números e pontos no espaço permite que a gente consiga visualizar coisas que sempre achou que não poderíamos. Ou nos permite, ainda, descrever coisas que são puramente visíveis através de pares de números. Em três dimensões, a ideia é praticamente a mesma, mas entre trios de números que representam um ponto em um espaço tridimensional. Para pensar nisso, vamos colocar um ponto neste espaço tridimensional. Aqui é um pouco difícil de ter uma ideia exata, até que você mova as coisas neste espaço. Uma coisa que torna as três dimensões difíceis é que você não pode realmente desenhar sem mover ou mostrar a diferença em perspectiva de várias maneiras. Mas nós descrevemos pontos como este. Então, tudo que a gente faz aqui é uma representação. Enfim, nós descrevemos pontos como este, novamente, através de um conjunto de coordenadas. Mas desta vez é um trio de números. E para este ponto em particular, eu sei que aqui temos (1, 2, 5). E o que estes números estão dizendo é a distância a se mover de forma paralela a cada eixo. Assim como com duas dimensões, temos aqui um eixo "x" e um eixo "y", mas agora há um terceiro eixo, que é perpendicular a ambos. Essa dimensão é o eixo "z". Olhando essa coordenada, o primeiro número vai nos dizer o quanto precisamos nos mover na direção "x". Esta é a primeira etapa. O segundo número (2, neste caso) nos diz o quanto precisamos nos mover paralelo ao eixo "y". Esta é a segunda etapa. E o terceiro número nos diz o quanto temos que nos mover de forma paralela ao eixo "z" para chegar a este ponto. E um detalhe legal é que você pode fazer isso para qualquer ponto no espaço tridimensional. Qualquer ponto que você tiver, você pode dar as instruções sobre como se mover ao longo do eixo "x", como se mover ao longo do eixo "y" e como se mover ao longo do eixo "z" para chegar a esse ponto. Sendo assim, isso significa que existe uma relação entre o trio de números e o ponto em três dimensões. Então, sempre que você tiver um trio de coisas (e você verá isso no próximo vídeo, quando a gente começar a falar sobre gráficos tridimensionais), você saberá, apenas pelo fato de ter um trio de coisas, que você deve pensar em três dimensões de alguma forma. E você faz isso da mesma forma com o bidimensional. Afinal, sempre que você tem pares de alguma coisa, você deve pensar: "Ah! Isso é uma coisa muito bidimensional!" Agora que conversamos sobre pontos, existe um outro contexto onde pares de números surgem. Eu estou falando aqui sobre os vetores. Os vetores normalmente são representados com algo que parece ser uma flecha, mais ou menos deste jeito. Esta flecha é uma representação de um vetor. Se esse vetor for algo que liga a origem a um ponto simples, temos as coordenadas desse vetor sendo exatamente as mesmas do ponto. E aí, por convenção, escrevemos essas coordenadas em uma coluna. Claro, isso não é uma regra universal, mas normalmente, se você ver números em uma coluna como esta aqui, você deve pensar nisso como um vetor, algum tipo de flecha. E, se for um par de parênteses em torno disso, você apenas pensa nisso como um ponto. Agora, uma coisa que precisamos deixar claro é que, apesar desses dois serem formas de representar um mesmo par de números, a principal diferença entre um vetor e um ponto é que, em relação a um vetor, você poderia ter começado em qualquer ponto do espaço. Não precisa começar na origem. Então, se a gente tivesse aqui este mesmo cara, mas ele começando aqui, ele ainda teria uma componente à direita igual a 1 e uma componente ascendente igual a 3. Pensamos nisso aqui como o mesmo vetor. Os vetores normalmente representam algum tipo de movimento e os pontos estão apenas representando pontos reais no espaço. Uma coisa que você também pode fazer com vetores é adicionar um com o outro. Então, se você tivesse outro vetor... Digamos que você tenha outro vetor aqui, com uma componente "x" relativamente grande, mas com uma componente "y" relativamente pequena e negativa, como este cara. Você pode adicionar este vetor ao primeiro. E a forma de fazer isso é imaginando que o segundo vetor comece na ponta do primeiro. Dessa forma, você obtém um novo vetor partindo da origem do primeiro e indo até o final do segundo. E esse cara seria o que chamamos de vetor resultante. Ou seja, o vetor resultante da soma entre estes dois vetores. Com toda certeza, você não pode fazer isso com pontos, até porque, para pensar em adicionar pontos, você acaba pensando neles como vetores. Agora que você já compreendeu isso em duas dimensões, é importante saber que isso acontece também em três dimensões. Para um determinado ponto, se você desenhar uma seta da origem até aquele ponto, essa seta seria representada com o mesmo trio de números, mas você normalmente faria isso em uma coluna. Um detalhe importante: eu costumo chamar isto de vetor coluna. E, como eu falei, a diferença entre um ponto e um vetor é que o vetor pode começar em qualquer lugar do espaço. Contanto que tenha os mesmos componentes, não importa para onde ele se movimente paralelamente ao eixo "x", ou ao eixo "y", ou ainda ao eixo "z". Enfim, meu amigo ou minha amiga, espero que você tenha compreendido tudo direitinho aqui o que a gente conversou. No próximo vídeo, eu vou te mostrar como usamos essas três dimensões para começar a representar graficamente as funções multivariáveis. Quero aproveitar o momento aqui e deixar para você um grande abraço. Até a próxima!