Construção de hexágonos regulares

RKA - E aí pessoal, tudo bem? Nessa aula, nós vamos estudar os hexágonos. Mas o que é o hexágono? Bem, é uma figura plana com 6 lados, e esta figura pode ser classificada em regular ou irregular, e o que determina a regularidade de um polígono, são seus lados, ou seja, têm que ser iguais entre si. Então, nós temos dois hexágonos aqui, nós podemos contar os lados de cada um, então aqui 1, 2, 3, 4, 5, e 6. E do lado direito, nós também temos 6 lados: 1, 2, 3, 4, 5, e 6. Então, nós estamos dois hexágonos. Observe que o lado 1 é diferente do lado 6, que é diferente do lado 3, ou seja, os lados não são iguais entre si, o que torna este hexágono irregular. Agora, observe a figura da direita, nós temos que todos os lados são iguais entre si, ou seja, eles possuem a mesma medida, e por isso nós podemos dizer que este hexágono é regular. Agora, se nós falarmos da área de um hexágono, que eu coloquei aqui, e já que nós vamos falar de área, é bom nós lembrarmos que área é a medida de uma superfície. Então, nós queremos calcular a medida de uma superfície que, nesse caso, é o hexágono. Então eu vou desenhar um hexágono aqui, um hexágono regular, ou seja, todas as medidas são iguais, e eu vou mostrar que a área de um hexágono depende exclusivamente dos lados. Então, aqui nós temos um hexágono regular, e a medida do ângulo interno de um hexágono é igual a 120 graus. Mas, observe que como o nosso polígono é regular, todos esses ângulos aqui também medem 120 graus. Então, a área de um hexágono depende exclusivamente dos seus lados. Então, se eu diminuir este hexágono, deixa eu colocar aqui ao lado, o hexágono um pouco menor, você vai perceber que a área do hexágono não depende das medidas dos ângulos internos, isso porque nós ainda teremos 120 graus. Ou seja, a área não depende dos ângulos internos. Agora, se eu colocar outro hexágono, e dividi-lo em 6, ou seja, eu vou traçar as diagonais dele, você pode observar que eu vou dividir em 6 triângulos equiláteros. E lembrando que triângulos equiláteros são triângulos que possuem a mesma medida em todos os seus lados, e consequentemente todos os ângulos iguais a 60 graus. Então, aqui ao lado eu tenho um triângulo equilátero com todas as medidas iguais, e aqui 60 graus, como em todos os outros ângulos internos. E mesmo que você não lembrasse do triângulo equilátero, observe que este ângulo aqui vale 120 graus, que é o mesmo ângulo que nós traçamos aqui, e quando nós passamos a diagonal por este ângulo, nós o dividimos em dois ângulos de 60 graus. Então, aqui é 60 graus, e aqui também é 60 graus. E como este triângulo aqui é um triângulo equilátero, então este ângulo aqui é um ângulo que nós chamamos de ângulo central, e ele também vale 60 graus. E esse aqui também, esse, esse, e esse aqui também valem 60 graus. Então, se nós diminuirmos o hexágono, o tamanho do ângulo central vai ser o mesmo. Por isso a área do hexágono não depende do ângulo central. Então, eu posso escrever aqui que a área não depende do ângulo central. E aí chegamos à conclusão que a área de um hexágono depende exclusivamente do seu lado. E esse lado também é chamado de aresta, que eu vou chamar somente de "a". Então, todos esses lados aqui são arestas, ou simplesmente "a", que eu estou colocando aqui em amarelo. Então, eu vou colocar o triângulo equilátero aqui, que eu vou utilizar como base para determinar a área de um hexágono, e claro, todos os lados são arestas, correto? Então, seu traçar uma semirreta aqui desse vértice até o centro da base, nós temos a altura, que eu vou chamar de "h". E você lembra do teorema de Pitágoras? Ele dizia que o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos, correto? Mas, eu só posso aplicar o teorema de Pitágoras quando eu tenho um triângulo retângulo. Mas observe, aqui nós temos um triângulo retângulo, porque aqui temos um ângulo reto. Então, eu vou utilizar somente uma parte desse triângulo que eu dividi em dois, e vou colocar o meu triângulo aqui ao lado, e aí eu tenho que aqui nós temos o "a", mas observe que eu dividi esse lado aqui em duas partes, então essa parte aqui é "a/2", e essa parte aqui também é "a/2". Então, aqui nós temos "a" dividido para 2, já que é a metade do triângulo, ou seja, a metade da base, e aqui nós temos a altura. Agora, se eu aplicar o teorema de Pitágoras, nós temos que lembrar que hipotenusa é o lado que está de frente para o ângulo de 90 graus, ou seja, é esse "a". E aí nós temos que "a" ao quadrado é igual a "a/2" ao quadrado, eu vou colocar entre parênteses, mais "h" ao quadrado, e aí se eu resolver isso eu tenho que "a" ao quadrado é igual, lembre-se que aqui nós elevamos esses dois aqui, então elevamos o "a" ao quadrado, que dá "a" ao quadrado, e 2 ao quadrado dá 4, e eu somo isso com "h" ao quadrado. Então, nós podemos subtrair ambos os membros dessa equação por este termo aqui, que é "a" ao quadrado sobre 4, então ficamos com "a" ao quadrado, menos "a" ao quadrado sobre 4, igual a "h" ao quadrado. E se nós resolvermos isso aqui, nós ficamos com "3a" ao quadrado sobre 4, e isso é igual a "h" ao quadrado. E agora, eu posso extrair a raiz quadrada em ambos os membros, e aí eu vou ficar com "a" raiz de 3, sobre 2, igual a "h". E aí, nós temos à altura deste triângulo. Mas por que eu estou calculando esta altura? Você se lembra que a área de um triângulo é base vezes altura sobre 2? Pois é, a nossa base é a nossa aresta "a". E a nossa altura, nós descobrimos aqui. Então, eu posso substituir isso aqui, e eu vou ficar com: "A" igual a "a", que é a nossa aresta, vezes a altura, que é "a" raiz de 3 sobre 2, isso tudo dividido por 2. Só para lembrar que nós dividimos por 2 por causa da nossa área aqui. Então nós temos que a área é igual a "a" ao quadrado vezes raiz de 3 sobre 2, e isso dividido por 2. Então, só para lembrar, este "a" ao quadrado saiu daqui. Lembre-se que aqui nós estamos dividindo por 1, eu não preciso colocar o denominador 1, e aí nós temos uma multiplicação de fração, ou seja, multiplicamos o numerador pelo numerador, e o denominador pelo denominador. E aí ficamos com "a" ao quadrado raiz de 3 sobre 2, correto? Mas como você faz uma divisão de fração? Simples, nós repetimos o numerador, e multiplicamos invertendo o denominador. Como assim? Observe que o denominador está dividido para 1, novamente, eu não preciso colocar denominador 1, então se eu for dividir isso ou ficar com: "a" ao quadrado, raiz de 3 sobre 2, que multiplica 1/2, que é o inverso de 2 sobre 1. E aí, a nossa área é igual a: "a" ao quadrado, raiz de 3 sobre 4. Mas, observe que nós fizemos isso em 1 triângulo, e o hexágono é formado por 6 triângulos. Então, nós temos que multiplicar essa área aqui por 6. Então, a área de um hexágono vai ser 6 vezes a área de um triângulo equilátero. E aí nós vamos ter 6 vezes "a" ao quadrado raiz de 3, sobre 4. Eu posso simplificar esse 6 por 2, e esse 4 por 2, e aí nós vamos ter que a área de um hexágono é igual a "3a" ao quadrado raiz de 3, sobre 2. Lembrando que este "a" é a aresta, ou seja, a área de um hexágono depende exclusivamente do seu lado. Aqui, nós vamos construir o hexágono com régua e compasso. Aqui eu estou utilizando um programa livre chamado GeoGebra, mas você pode acompanhar os passos utilizando também régua e compasso. Então, primeiro trace a circunferência "C1" e marque o centro "O". Depois, trace uma reta passando por "O" e marque as intersecções "A" e "B" com "C1". O terceiro passo consiste em construir outra circunferência. Então, com centro em "A", faça uma circunferência "C2", com raio igual a "OA", e marque as intersecções "B" e "F", com "C1 e C2" No passo 4, com o centro em "D", faça uma circunferência "C3", com o raio igual a "DO", e marque as intersecções "C" e "E" com "C1" e "C3". Por fim, trace seguintes segmentos: "AB", "BC", "CD", "DE", "EF" e "FA" . E aí nós temos o nosso hexágono. E aqui no GeoGebra, eu ainda tenho a oportunidade de utilizar a ferramenta polígono, que me permite visualizar melhor o meu hexágono. Eu também posso tirar todas as minhas construções auxiliares, e aí nós temos o nosso hexágono. Então é isso aí pessoal, até a próxima!