Transformação de Lorentz para mudança em coordenadas

RKA2G - Nós temos passado vários vídeos nos familiarizando com as transformações de Lorenz. O que eu quero fazer agora, em vez de pensar no que x' e ct' são em termos de "x" e "ct", eu quero pensar sobre o que Δx' e Δct' serão serão em termos de Δx e Δct. E nós veremos que só irá envolver algumas manipulações algébricas bastante simples. Então, vamos pensar sobre isso. Δx' é igual a x' final, menos x' inicial. Bem, x' final. Vou pegar outra cor aqui. O x' final será: γ vezes ("x" final menos βct final). Tudo o que eu fiz foi usar esta fórmula aqui em cima. Se eu quiser descobrir o x' final, eu só vou pensar no "x" final e no "ct" final. É isso. A partir disso, eu vou subtrair o x' inicial. Vamos mudar de cor para trabalhar com o x' inicial. O x' inicial será igual ao fator de Lorenz, vezes: "x" inicial menos βct inicial). Agora, vamos ver. Nós podemos fatorar o γ, então, vamos continuar aqui. Vamos fatorar γ. Nós teremos γ vezes... Vou mudar de cor... γ vezes "x" final e, se nós distribuirmos este sinal, "menos" com "mais" dá "menos". Menos "x" inicial. Continuando a fórmula, vamos mudar de cor de novo. Menos βct final. E, distribuindo este sinal novamente, "menos" com "menos" dá "mais". Mais βct inicial, fechando parênteses. E o que podemos fazer aqui? Bom, este pedaço é só Δx. Então, vamos continuar o desenvolvimento. Igual a γ vezes Δx. E agora vamos fatorar o β negativo. Vou trocar de cor de novo. Menos β vezes ("ct" final menos "ct" inicial). Fecha parênteses e fechamos o segundo parênteses. E quanto é "ct" final menos "ct" inicial? Isso vai ser igual a Δct. Então, nós temos que isto tudo daqui vai ser igual a: γ, que é o fator de Lorenz, vezes (Δx - βΔct). E fecha parênteses. Este Δct, como "c" não está mudando, poderia ser escrito também como cΔt. As duas formas estão corretas. Note que isto tem quase a mesma forma. x' = γ vezes (x - βct). E Δx', que é o que nós vínhamos desenvolvendo aqui, é igual a γ vezes (Δx - βΔct). E eu não vou fazer isso neste vídeo, mas você pode ter o mesmo raciocínio algébrico para o Δct'. Eu incentivo você a fazer isso por conta própria. Quer ver? Vamos fazer o começo. Δct' é igual... E, já que o "c" não está mudando, você pode ver também como cΔt', pois estes dois aqui são equivalentes. Será igual (e talvez você já tenha imaginado isso) a γ vezes (Δct, menos βΔx). Fechando parênteses. Logo depois deste vídeo, que tal fazer este aqui também? Δx' = x' final menos x' inicial. E aí, fazer o que eu acabei de fazer aqui: apenas um pouco de manipulação algébrica. Você pode desenvolver este mesmo raciocínio para chegar ao resultado que eu escrevi abaixo. E veja: Δct' será igual a ct' final menos ct' inicial. Você pode substituir por isto aqui, com um pouquinho de manipulação algébrica, e chegar a isto. E razão pela qual eu estou fazendo isso é que agora podemos pensar em termos de variação nas coordenadas, o que também vai nos permitir pensar sobre quais seriam as velocidades nos diferentes pontos de referência. E isso vai ser muito legal. Continue praticando!