Notação vetorial de unidade

RKA1JV Olá, tudo bom? Trabalhamos bastante com vetores, e em muitos dos problemas, quando lançamos algo nos problemas de movimento de projéteis ou quando você estava fazendo problemas de plano inclinado, eu sempre lhe dava um vetor. Eu desenhava um vetor igual a esse. Eu dizia que algo tem uma velocidade de 10 m/s e está em um ângulo de 30 graus, então, eu dividia nos componentes "x" e "y". Se eu chamava esse vetor "V", eu usava a notação "Vₓ" e o "Vₓ" teria sido esse vetor aqui, o "Vₓ" teria sido esse vetor aqui embaixo, o componente "x" do vetor. Em seguida, "Vʏ" que teria sido o componente "y" do vetor e teria sido esse vetor, portanto, esse seria "Vₓ" e esse seria "Vʏ". Esperamos que para você seja automático como descobrimos essas coisas. "Vₓ" seria 10 vezes o cosseno desse ângulo, 10, cosseno de 30 graus, que eu acho que é a raiz quadrada de 3 sobre 2, mas agora não estamos preocupados com isso. E "Vʏ" seria 10 vezes o seno desse ângulo. Se não for, você pode passar o "Soh Cah Toa" e dizer: o seno de 30 graus é o oposto da hipotenusa, e você voltaria para isso, mas nós revimos tudo isso, e você deve rever os vídeos do vetor inicial. Mas o que eu quero que você faça agora, porque isso é útil para problemas de movimento de projéteis simples, Mas, uma vez que começamos a lidar com vetores mais complicados, talvez estejamos lidando com vetores multidimensionais ou começamos a fazer Álgebra Linear, onde começamos vetores "n" dimensionais. Precisamos de uma maneira coerente, de uma maneira analítica, em vez de ter que desenhar uma figura para representar vetores. O que fazemos é: usamos algo que eu chamo, eu acho que todos chamam de notação de vetor unitário. O que isso significa? Definimos esses vetores unitários, deixe-me desenhar alguns eixos, é importante manter em mente, isso parece um pouco confuso de início, mas isso não é diferente do que temos feito até agora em nossos problemas de Física. Deixe-me desenhar os eixos. Vamos dizer que esse é 1, esse é zero, este é 2, devo estar escrevendo em árabe, alguma coisa assim, indo para trás, este é o zero, 1, 2, esse não é 20. Vamos dizer que esse é 1, esse é 2 na direção "y", vou definir o que eu chamo de vetores unitários de duas dimensões. Primeiro, vou definir um vetor, vou chamar esse vetor "î", e esse é o vetor. Ele vai em linha reta em uma direção "x", não tem nenhum componente "y" e tem magnitude de 1, esse é "î". Denotamos o vetor unitário colocando esse pequeno boné em cima dele. Há múltiplas notações, às vezes no livro, você vai ver um "i" sem o boné e apenas em negrito. Existem algumas outras notações, mas se você vir "î" e não no sentido de número imaginário, você deve perceber que esse é um vetor unitário, ele tem magnitude de 1 e está completamente na direção "x". E eu vou definir outro vetor. Esse é chamado "ĵ", é a mesma coisa, mas na direção "y", esse é o vetor "ĵ" e você coloca esse chapeuzinho em cima dele, você coloca um chapeuzinho sobre ele. Por que eu faria isso? Se eu estou lidando com duas dimensões, como mais tarde veremos, em três dimensões, haverá, na verdade, uma terceira dimensão e chamaríamos isso de "k". Mas não se preocupe com isso agora. Mas, se estamos lidando em duas dimensões, podemos definir qualquer vetor em termos de alguma soma desses dois vetores. Como isso funciona? Esse vetor aqui, esse vetor "V" é a soma de seu componente "x" mais seu componente "y". Quando você soma dois vetores, você pode colocá-lo com a cabeça e a cauda encostadas assim e essa é a soma. Portanto, espera-se que, sabendo o que já sabemos, nós sabíamos que o vetor "V" é igual ao seu componente "x" mais seu componente "y", quando você soma dois vetores, basta essencialmente colocá-los com a cabeça e a cauda encostadas. Então, a soma resultante é onde você termina, seria como se você adicionasse esse vetor e depois colocasse essa cauda encostada na cabeça, você termina ali. Podemos definir Vₓ como algum múltiplo de "î", desse vetor unitário. Vₓ vai completamente na direção "x", mas não tem magnitude de 1, ele tem uma magnitude de 10 cosseno de 30 graus, portanto, a sua magnitude é de 10. Esse é o vetor unitário "î", e ele vai ficar parecido com alguma coisa assim. Vₓ está exatamente na mesma direção, e apenas uma versão reduzida desse vetor unitário. O vetor unitário tem uma magnitude de 1, ele tem uma magnitude de 10 cosseno de 30 graus, e eu acho que é 5 raiz quadrada de 3, alguma coisa assim. Assim, podemos escrever "V" subscrito "x", eu vivo trocando as cores para manter as coisas interessantes, podemos escrever Vₓ é igual a 10 cosseno de 30 graus, vezes, isso são os graus, vezes a unidade vetorial "î". Deixe-me ficar com essa cor para você não ficar confuso, vezes o vetor unitário "î", isso faz sentido? O vetor unitário "î" vai na mesma direção, mas o componente "x" desse vetor é bem mais longo, é 10 cosseno de 30 graus de comprimento e isso é igual à cosseno de 30 graus, é a raiz quadrada de 3 sobre 2. Portanto, é 5 raiz quadrada de 3, "î". Da mesma maneira, podemos escrever o componente "y" desse vetor como algum múltiplo de "ĵ". Podemos dizer Vʏ , o componente "y" é igual ao seno de 30 graus, o seno de 30 graus é 1/2, 1/2 vezes 10, portanto isso é 5, assim, a componente "y" vai ser completamente na direção "y". Ele será um múltiplo desse vetor "ĵ", ele tem comprimento 5 enquanto o vetor unitário tem apenas comprimento 1. Por isso, é apenas 5 vezes o vetor de unidade "ĵ". Como podemos escrever o vetor "V"? Sabemos que o vetor "V" é a soma de seu componente "x" e seu componente "y", também sabemos, esse é o vetor "V" inteiro, qual é o seu componente "x"? Seu componente "x" pode ser escrito como múltiplo do vetor unitário "x", é esse ali, portanto, você pode escrevê-lo como "5 raiz quadrada de 3" vezes "î", mais seu componente "y". Qual é o seu componente "y"? Seu componente "y" é simplesmente um múltiplo do vetor unitário "y", que é chamado "ĵ", com o chapeuzinho engraçado em cima. E isso é apenas uma mudança, é 5 vezes "ĵ". Então, o que nós fizemos agora? Definimos esses vetores unitários, eu posso mudar para essa cor só para você lembrar que esse é "î", esse vetor unitário é isso. Usamos vetores primários em duas dimensões e podemos, eventualmente, fazê-los em várias dimensões, podemos, analiticamente, expressar qualquer vetor bidimensional. Em vez de ter que sempre desenhá-los, como fizemos antes, ter que dividir seus componentes e sempre fazê-lo visualmente, podemos ficar em modo analítico, em modo não-gráfico. E o que torna isso útil é que eu posso escrever um vetor nesse formato, eu posso adicioná-los e subtraí-los sem ter que recorrer a meios visuais. O que eu quero dizer com isso? Se eu tivesse que encontrar algum vetor "a", que é igual a 2î + 3ĵ. E eu tenho algum outro vetor "b", essa pequena seta que significa que é um vetor, às vezes, você verá como uma seta inteira, como 10î + 2ĵ. Qual é a soma desses dois vetores, "a + b"? Antes de termos essa notação de vetor unitário, teríamos que desenhá-los, colocá-los com a cabeça e cauda encostadas e você tinha que fazer isso visualmente. Mas, uma vez que você dividiu em componentes, "x" e "y", você pode apenas adicionar, separadamente, os componentes "x" e "y". Então, o vetor "b" que é apenas (2 + 10) vezes "î", mais (3 + 2) vezes "ĵ", isso é igual a 12î + 5ĵ. Talvez eu vá fazer isso em um vídeo futuro, desenhar esses dois vetores e somá-los visualmente. E você verá que obtém essa resposta exata. Quando entrarmos em vídeos futuros, você vai ver como isso é super útil, quando começarmos a fazer problemas de Física mais complicados, problemas quando começamos a fazer Física com o cálculo. Enfim, eu estou prestes a ficar sem tempo nos dez minutos, então, eu vejo você no próximo vídeo. Até lá!