Conhecimentos necessários para o jacobiano

RKA4JL - Olá, pessoal! Tudo bem? Neste vídeo vamos falar sobre o jacobiano, ou sendo um pouco mais específico, da matriz jacobiana, também chamada algumas vezes de determinante associada. Primeiro vamos falar sobre o conhecimento base, o qual estou assumindo que você tenha, pois para entender o jacobiano é necessário já ter uma base na álgebra linear, e em particular, matrizes e transformações do espaço. Então, primeiro, vamos ter uma matriz aqui. Será [2,1,-3,1]. Quando digo "transformação no espaço", eu quero dizer que você pode multiplicar a matriz por algum vetor bidimensional [x,y] e isso vai nos dar outro vetor bidimensional. Neste caso, [2,1,-3,1], o que vai nos dar é (2x mais -3y) e depois (1x mais 1y). Esse é o novo vetor bidimensional em algum lugar no espaço e mesmo que você saiba como calculá-lo, ainda há espaço para se aprofundar no entendimento geométrico do que realmente significa olhar do vetor [x,y] ao vetor [(2x mais -3y) (1x mais 1y)]. Um desses entendimentos mais aprofundados se chama transformação linear. O que eu vou fazer aqui é mostrar para você como essa transformação em particular se parece na esquerda em cada um dos pontos dessa grade azul. Vamos falar para o computador: "Ei, se esse ponto é (x,y), quero por ele em [(2x mais -3y) (1x mais 1y)].” Ele vai parecer com isso. Todos os pontos no espaço se movem e terminam nessa situação aqui. Tem uma série de coisas importantes para se notar, mas a primeira delas é que todas as linhas da grade se mantêm paralelas e espaçadas de forma equivalente. Elas se mantêm em linhas, não são curvadas de algum jeito. Isso é legal, mas bem legal mesmo, e também esse é o jeito geométrico de pensar sobre esse termo, essa ideia de transformação linear. Outra coisa para se notar aqui é que temos esses dois vetores destacados, o vetor verde e o vetor vermelho. Se voltarmos um pouco, estes são os que iniciaram como vetores base. O vetor verde é [1,0], 1 na direção x e zero na direção y, e o vetor vermelho é [0,1]. Nesta transformação, onde a matriz é multiplicada por cada um dos vetores do espaço, se olhar onde eles vão parar, neste caso o local onde o vetor verde para, ele agora tem as coordenadas [2,1] e isso corresponde ao fato que a primeira coluna de nossa matriz é [2,1]. O segundo vetor, que começou como [0,1], termina nas coordenadas [-3,1] e isso corresponde ao fato que a próxima coluna é [-3,1]. É bem fácil de se ver o porquê dessas informações serem verdadeiras e aqui eu irei multiplicar essa matriz. É bem fácil eu compor essa matriz, já que conseguimos vê-la aqui, [2,1,-3,1]. Mas para ver o porquê de estarmos pegando os vetores base e colocando em colunas desse jeito, quando você multiplica por [1,0], olhe onde isso nos leva. Então é 2 vezes 1, que será 2, e depois -3 vezes zero, que será zero. Aqui será 1 vez 1, então será 1, e esse 1 vez zero, então, somando zero. Já que o zero está ali, os únicos termos que realmente importam são estes nesta primeira coluna, igual se pegarmos essa mesma matriz [2,1,-3,1] e multiplicarmos por [0,1], pela segunda base de vetor, o que vamos conseguir é 2 vezes zero, então zero, mais aquele elemento na segunda coluna, então 1 vez zero, outro zero mais 1 vez 1, mais aquele 1. E de novo, é como se o zero derrubasse todos os termos das outras colunas. E então, como foi dito, geometricamente o significado da transformação linear é que as linhas de grade permanecem paralelas e equivalentemente espaçadas. Quando começa a pensar um pouco nisso, se você souber onde esses dois vetores vão parar, isso vai travar no lugar onde a grade inteira deve ir. Deixe-me te mostrar o que isso significa e como isso corresponde, talvez, a uma definição diferente do que você ouviu sobre a transformação linear. Se temos uma função 1 e ela vai receber um vetor e soltar outro, é dito linear se satisfaz a propriedade quando você pega a constante vezes um vetor e o que isso produz é a mesma constante vezes qualquer coisa que tenha acontecido quando você aplicou a transformação ao vetor. Aqui não é escalar, então estamos aplicando essa transformação para um vetor escalar. Evidentemente é o mesmo que escalar a transformação do vetor. De forma parecida, a segunda propriedade da linearidade é que se você somar dois vetores e depois aplicar a transformação, será o mesmo que aplicar a transformação para cada um separadamente. Depois somamos os resultados. Uma das mais importantes consequências dessas definição formal de linearidade é que isso significa que se você pegar a sua função e aplicá-la para algum vetor [x,y], conseguimos separar esse vetor como x vezes o vetor de primeira base, x vezes [1,0] mais y vezes o vetor de segunda base, [0,1]. Por causa dessas suas propriedades de linearidade, se eu conseguir separar desse jeito, não importa se eu escalar e somar antes ou depois da transformação, e também não importa se eu disser que é x vezes o que for a versão transformada de [1,0]. Antes de ver o que isso tudo significa geometricamente, vamos primeiro ter todo o cálculo aqui na lousa. Mais y vezes a versão transformada de [0,1]. Seguindo, para ser mais concreto, vamos pôr o valor de x e y aqui e tentar pensar sobre esse vetor geometricamente, talvez algo como o vetor [2,1]. Devemos nos focar neste ponto que está aqui, no [2,1], e neste outro 1. Eu quero que você siga esses pontos para ver onde isso para. Bem, vai parar em cima. Em termos da grade velha, o original que havíamos iniciado, agora é no ponto (1,3), e é ali que havíamos terminado. Mas mais importante, eu quero que você note como é, ainda, 2 vezes o vetor verde mais 1 vez o vetor vermelho. É bem legal essa propriedade, na qual é ainda x vezes qualquer que seja a versão transformada da primeira base do vetor mais y vezes a versão transformada do segundo vetor. Isso tudo aqui foi só mais uma pequena revisão de tudo que já havíamos visto. O mais importante que eu quero que você lembre disso tudo é que quando tem algum tipo de matriz você pode pensar nela como uma transformação do espaço que mantém as linhas da grade paralelas e equivalentemente espaçadas e também que esse é um tipo de transformação bem única. Sendo assim, essa é uma propriedade bem restritiva para se ter em uma função de pontos 2D para outros pontos 2D. Um jeito conveniente de pegar isso é pensar que o local de parada para o primeiro vetor base, aquele que inicia uma unidade para a direita, ele é representado pela primeira coluna da matriz e o local de parada para o segundo vetor base, aquele que está apontando uma unidade para cima, é nessa segunda coluna. E se isso tudo pareceu bem estranho, ou caso você queria aprender mais, temos esse conteúdo em outros vídeos. Mas para pegar o jeito geométrico da coisa e entender a matriz jacobiana, que é o nosso propósito com isso tudo, essa pequena revisão deve ser o suficiente para continuar. E é isso, pessoal. Espero que tenham aprendido e até a próxima!