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Método das Correntes de Malha

O Método das Correntes de Malha resolve circuitos ao escrever a Lei de Kirchhoff das Tensões fluindo nas malhas do circuito. Escrito por Willy McAllister.

Introdução

O Método das Correntes de Malha é outro método bem definido usado para resolver um circuito elétrico. (O outro é o Método da Tensão de Nó). Como em todo desafio de análise de circuito, nós temos que resolver um sistema de

2 E

equações independentes, onde

E

é o número de elementos do circuito. O Método das Correntes de Malha é bastante eficiente para realizar a análise do circuito, resultando em um número relativamente pequeno de equações que precisamos resolver.

O Método das Correntes de Malha baseia-se na Lei de Kirchhoff das Tensões (LKT).

O Método das Correntes de Laço é uma pequena variação do Método das Correntes de Malha.

Malhas e Malhas Simples

O Método das Correntes de Malha usa dois termos especiais: laço e malha.

Um laço é qualquer caminho fechado em torno de um circuito. Para traçar um laço, basta você pode partir de qualquer ponto do circuito e traçar um caminho que percorra os elementos conectados até que você retorne ao ponto de partida. O caminho que compõe o laço só pode passar uma única vez sobre um mesmo elemento (de forma que você não obtenha laços que se parecem com um número oito - 8). No circuito acima, há três laços, dois laços sólidos,

I

II

, e uma malha tracejada,

III

, que perfaz todo o circuito.

Se traçarmos as malhas no sentido horário, as três malhas em nosso circuito passam por

\begin{aligned} Malha I: & V1 - R1 - R3 \\ Malha II: & R3 - R2 - V2 \\ Malha III: (malha tracejada) & V1 - R1 - R2 - V2 \end{aligned}

A malha simples é um tipo restrito de malha; uma malha simples é uma malha que não contém nenhuma outra malha. No circuito acima, as malhas

I

II

são malhas simples porque não existem malhas menores dentro delas. A malha tracejada não é uma malha simples, pois contém duas outras malhas.

A palavra comum malha tem dois significados:

Malha pode ser o material que faz uma rede de arame ou fio, como em uma "malha para redes de pesca".
Malha significa também o espaçamento ou as pequenas áreas individuais definidas por uma rede de fios ou linhas, por exemplo: "se a malha de uma rede de pesca é muito grande, um peixe pequeno pode nadar para fora dela"

Em análise de circuitos, quando dizemos que uma malha envolve uma "janela aberta" ou "vitrô" de um circuito, estamos usando o segundo significado da palavra, em que malha se refere aos espaços abertos entre os ramos do circuito. Procurar pelas janelas abertas é um jeito fácil de identificar rapidamente todas as malhas simples em um circuito.

No Método das Correntes de Malha, usamos as malhas de um circuito para gerar equações LKT.

Corrente de Malha

Nós vamos agora definir um novo termo, corrente de malha. (Você também pode chamá-las de correntes de malha simples.) Até o momento, ao falar sobre corrente nos referimos a uma corrente elementar (a corrente que flui através de um elemento do circuito). Ao usar o termo corrente de malha estamos falando sobre uma corrente imaginária que flui através de uma malha. Esta é uma ideia que pode parecer estranha, mas vamos lá. No circuito abaixo, vamos definir as correntes de malha

i_{I}

i_{II}

que fluem através das malhas simples

I

II

, com a direção positiva da corrente de malha sendo indicada pelas setas.

Está claro que

i_{I}

é a corrente que circula pela fonte

V 1

e pelo resistor

R 1

. De forma similar,

i_{II}

é a corrente que circula pelo resistor

R 2

e a fonte

V 2

. Mas o que está acontecendo com a corrente que passa pelo resistor

R 3

Vamos olhar de perto

R 3

no ramo do meio do circuito. Qual é a corrente fluindo por

R 3

Da forma como estão desenhadas, as duas correntes de malha parecem atravessar o resistor

R 3

, mas em direções opostas. Será que isto pode ser verdade? Pode sim! Porque podemos aplicar um conceito muito importante chamado de princípio da superposição.

O princípio da superposição

Superposição é uma palavra bonita para somar. No caso de

R 3

, estamos usando o princípio da superposição quando dizemos que as duas correntes,

i_{I}

and

i_{II}

se somam para compor a corrente real no resistor,

i_{R 3}

+ i_{R 3} = + i_{I} - i_{II}

As duas correntes de malha superpõe-se (somam-se) para formar a corrente que de fato circula pelo elemento

R 3

. A seta da corrente de malha

i_{I}

aponta na mesma direção da corrente

i_{R 3}

, dando a ela um sinal

+

na equação de superposição. A seta da corrente de malha

i_{II}

aponta na direção oposta, de forma que ela ganha um sinal

-

na equação.

Linearidade

Nós podemos usar o princípio de superposição com resistores ideais pois eles apresentam comportamento linear. Um resistor com comportamento linear significa que se nós multiplicarmos a tensão por uma constante

a

, então a corrente é multiplicada pela mesma constante

a

v = i R

a v = a i R

Já para um resistor real há um limite de quão grande o valor

a

pode ser. Caso este limite seja ultrapassado, o resistor irá queimar. No entanto, o nosso resistor ideal funciona para qualquer valor de

a

, de forma que o resistor ideal é linear.

Apresentar um comportamento linear (linearidade) significa que nós podemos aplicar o princípio de superposição. A superposição significa que faz sentido haver múltiplas correntes de malha circulando através de um único elemento do circuito. Já múltiplas correntes significa que podemos usar as correntes de malha como nossas variáveis independentes. E isso tudo significa que podemos usar o Método das Correntes de Malha para resolver nossos circuitos!

Se você quizer aprender mais sobre o conceito de linearidade, confira o artigo principal sobre linearidade.

Prática das Correntes de Malha

Problema 1

Determine o elemento de corrente $i_{Rx}$ ‍.

i_{Rx} =

mA

problema 2

Determine o elemento de corrente $i_{Ry}$ ‍.

i_{Ry} =

mA

O Método das Correntes de Malha descrito a seguir funciona em circuitos planares (circuitos que podem ser desenhados sem que dois fios se cruzem). A maioria dos circuitos com os quais você vai se deparar serão planares. Se o circuito for não planar (só pode ser desenhando com o cruzamento de fios), haverá uma pequena modificação no método, que recebe o nome de Método das Correntes de Laço. A maior parte do processo é igual para os dois métodos. Assim, vamos aprender primeiro sobre o Método das Correntes de Malha. Vamos falar mais sobre o Método das Correntes de Laço no artigo Método das Correntes de Laço.

Método das Correntes de Malha Simples

O Método das Correntes de Malha se baseia nas correntes de malha que fluem pelas malhas. A análise é executada através da seqüência de passos abaixo:

Identifique as malhas simples, (as janelas abertas do circuito).
Atribua uma variável de corrente para cada malha, usando uma direção consistente (no sentido horário ou anti-horário).
Escreva as equações da Lei de Kirchhoff das Tensões em torno de cada malha.
Resolva o sistema de equações resultante para todas as correntes de malha.
Resolva para os outros elementos de correntes e tensões que você queira usando a Lei de Ohm.

Este é o circuito que vamos analisar para demonstrar o Método das Correntes de Malha,

Identificar as malhas simples

Nosso circuito possui duas malhas simples. Nós podemos identificar duas correntes de malha que vamos chamar de

i_{I}

i_{II}

. Essas serão as nossas variáveis independentes. Importante: a direção das correntes de malha é a mesma, ambas fluem no sentido horário.

Definindo um loop de corrente em cada malha, você terá equações independentes suficientes para resolver o circuito.

Escreva a Lei de Kirchhoff das Tensões (LKT) ao longo de cada malha simples

Habilidade importante para corrente de malha - rabisque no esquema!

Para se preparar para escrever as equações LKT, podemos marcar o esquemático com elementos de tensões (laranja

+

-

) e elementos de corrente (setas verdes) usando a convenção de sinal para componentes passivos. Também adiciona-se setas azuis extras para os laços, assim sempre sabemos qual direção a corrente do laço atual está fluindo.

Rotular os elementos de corrente primeiro (antes de atribuir as tensões). É uma boa ideia desenhar as correntes apontando no mesmo sentido que a corrente de malha mais próxima. Nem sempre isso pode ser feito; vemos um exemplo onde $i_{II}$ ‍ flui contra a seta da corrente de $1 k Ω$ ‍. Isto esta certo pois vai dar certo no final.
Depois rotular os elementos com o sinal de $+$ ‍ perto da seta da corrente de entrada (a convenção do sinal passivo).

Agora podemos escrever uma equação para cada malha usando a Lei de Kirchhoff das Tensões, (somar as tensões em torno de uma malha e definir como igual a zero). Aqui se mostra como incluir os termos de tensão ao se escrever uma equação de malha:

Quando você considera uma fonte de tensão, ela entra na equação como um valor de tensão.
Quando você considera um resistor, expresse a tensão como resistência $\times$ ‍ corrente de malha. Isto é equivalente à Lei de Ohm na sua cabeça.
Se duas correntes de malha fluem através de um componente, inclua a diferença na expressão da Lei de Ohm.

A equação para a malha $I$ ‍, passo a passo

Começamos no canto inferior esquerdo do esquema e caminhamos no sentido horário ao longo da malha

I

O primeiro elemento que encontramos é a fonte de tensão de $5 V$ ‍. Primeiro nos deparamos com o sinal de $-$ ‍ laranja da fonte de tensão. Isso significa que vamos experimentar um aumento da tensão passando a fonte. Por ser um aumento, vai para a equação com um sinal de $+$ ‍, como $+ 5 V$ ‍.

malha I : + 5 V …

O segundo elemento que encontramos é o resistor de $2 k Ω$ ‍. A tensão sobre o resistor é $2 k Ω \cdot i_{I}$ ‍. (Isto é o que significa "ter a Lei de Ohm na sua cabeça.") A seta da corrente deste resistor segue a mesma direção da corrente de malha $i_{I}$ ‍. O sinal de tensão laranja $+$ ‍ nos diz que podemos experimentar uma queda na tensão passando por este componente. Então este termo entra na equação com um sinal $-$ ‍, como $- 2000 i_{I}$ ‍.

malha I : + 5 V - 2000 i_{I} …

O próximo componente na malha é o resistor de $1 k Ω$ ‍. Ele tem duas correntes de malha fluindo através dele, $i_{I}$ ‍ e $i_{II}$ ‍. A corrente líquida no resistor é $(i_{I} - i_{II})$ ‍. A tensão é, portanto, $1 k Ω \cdot (i_{I} - i_{II})$ ‍. O sinal de tensão $+$ ‍ laranja quando entramos no componente nos diz que vamos experimentar uma queda na tensão. Então este termo entra na equação com um sinal $-$ ‍, como $- 1 k Ω \cdot (i_{I} - i_{II})$ ‍.

malha I : + 5 V - 2000 i_{I} - 1000 (i_{I} - i_{II}) …

O percurso ao longo do laço $I$ ‍ está completo. Tudo o que resta é igualar a soma das tensões ao longo do laço a zero.

malha I : + 5 V - 2000 i_{I} - 1000 (i_{I} - i_{II}) = 0

Resumo de termos LKT das malhas simples $I$ ‍:

A equação para a malha $II$ ‍, passo a passo

Começamos pela parte inferior do resistor de

1 k Ω

caminhamos no sentido horário ao longo da malha.

O primeiro elemento é o resistor de $1 k Ω$ ‍, através do qual fluem duas correntes de laço. A corrente resultante que passa pelo resistor é $(i_{I} - i_{II})$ ‍. Como estamos entrando nesse resistor pela parte de baixo, como indica o sinal $-$ ‍, nós teremos um aumento de tensão através do resistor, de maneira que o termo de tensão que iremos incluir na equação é positivo; $+ 1000 \cdot (i_{I} - i_{II})$ ‍.

malha II : + 1000 (i_{I} - i_{II}) …

O próximo componente é o resistor de $2 k Ω$ ‍, localizado no topo do circuito acima, com apenas $i_{II}$ ‍ fluindo através dele. Como temos uma região de queda de tensão, nossa equação passa a ser $- 2000 \cdot i_{II}$ ‍.

malha II : + 1000 (i_{I} - i_{II}) - 2000 i_{II} …

O último elemento da malha que encontramos é a fonte de $2 V$ ‍. As fontes podem ser consideradas como um caso especial, usamos apenas o valor de tensão da fonte. Ao analisar essa fonte, nós podemos identificar uma queda de tensão através da mesma, de forma que a tensão na fonte deve entrar como $- 2 V$ ‍ na equação.

malha II : + 1000 (i_{I} - i_{II}) - 2000 i_{II} - 2 V …

E finalize igualando a soma ao longo do laço a zero,

malha II : + 1000 (i_{I} - i_{II}) - 2000 i_{II} - 2 V = 0

Resumo de termos LKT da malha simples $II$ ‍:

Resolva o sistema de equações de malha para encontrar as correntes

Nossas equações de malha copiado de cima:

malha I : + 5 V - 2000 i_{I} - 1000 (i_{I} - i_{II}) = 0

malha II : + 1000 (i_{I} - i_{II}) - 2000 i_{II} - 2 V = 0

Para iniciar o processo de solução, multiplica-se os termos e move-se as constantes para o lado direito,

mesh I : - 2000 i_{I} - 1000 i_{I} + 1000 i_{II} = - 5

mesh II : + 1000 i_{I} - 1000 i_{II} - 2000 i_{II} = + 2

Agrupe os termos semelhantes para ter um sistema organizado de equações,

mesh I : - 3000 i_{I} + 1000 i_{II} = - 5

mesh II : + 1000 i_{I} - 3000 i_{II} = + 2

Nossa estratégia será eliminar

i_{I}

ao multiplicar a segunda equação por

3

e adicioná-la à primeira equação. Aqui está a multiplicação da equação da malha

II

\begin{aligned} malha II : 3 \times [+ 1000 i_{I} - 3000 i_{II} & = + 2] = \\ [+ 3000 i_{I} - 9000 i_{II} & = + 6] \end{aligned}

Agora, some as duas equações. Os termos

i_{i}

se cancelam quando somamos, nos deixando com apenas um termo

i_{II}

\begin{aligned} malha I : [- 3000 i_{I} + 1000 i_{II} & = - 5] \\ malha II : + [+ 3000 i_{I} - 9000 i_{II} & = + 6] \\ soma : - 8000 i_{II} & = + 1 \\ i_{II} & = \frac{+ 1}{- 8000} \\ i_{II} & = - 0, 125 mA \end{aligned}

Laço de corrente

i_{II}

tem um sinal negativo. Isso significa que esta corrente flui na direção oposta de sua seta azul.

Agora conhecemos uma das correntes de laço. Substitua este valor em qualquer equação de laço para achar a outra corrente. Vamos usar a equação para o laço

I

- 3000 i_{I} + 1000 i_{II} = - 5

- 3000 i_{I} + 1000 \cdot (- 0, 125 mA) = - 5

- 3000 i_{I} = - 5 + 0, 125

i_{I} = \frac{- 4, 875}{- 3000}

i_{I} = + 1, 625 mA

Os dois laços de correntes agora estão resolvidos. Agora estamos prontos para encontrar as correntes e tensões dos elementos.

Resolver para outras correntes e tensões dos elementos

Para qualquer elemento conduzindo apenas uma corrente de laço, sabemos imediatamente sua corrente do elemento, é a mesma que a corrente de laço,

i_{2 k Ω esquerda} = + i_{I} = + 1, 625 mA

i_{2 k Ω direita} = + i_{II} = - 0, 125 mA

O resistor de

1 k Ω

conduz dois laços de correntes, então usamos a superposição para encontrar o elemento de corrente,

i_{1 k Ω} = i_{I} - i_{II} = + 1, 625 mA - (- 0, 125 mA) = + 1, 75 mA

E, finalmente, obtemos a tensão no nó entre os três resistores utilizando a Lei de Ohm no resistor

1 k Ω

v_{1 k Ω} = 1 k Ω \cdot 1, 75 mA = 1, 75 V

Tudo feito! Analisamos um circuito usando o Método das Correntes de Malha.

Escolhendo um método

Agora nós temos dois métodos muito eficientes para analisar circuitos, o Método das Tensões de Nó e o Método das Correntes de Malha. Qual deles é o melhor para uma dada situação? Para escolher entre um dos dois métodos, conte o número de malhas simples no circuito e compare com o número de nós. Qual número é menor, malhas simples ou nós? É melhor, usualmente, escolher o método que gera o menor número de equações simultâneas. Se o número de malhas simples e nós for o mesmo, ou aproximadamente o mesmo, você pode escolher o método que melhor lhe convir.

Resumo

O Método das Correntes de Malha é uma alternativa ao Método das Tensões de Nó para resolver um circuito.

As etapas no método das malhas de corrente são,

Identifique as malhas.
Atribua uma variável de corrente para cada malha, usando uma direção consistente (sentido horário ou anti-horário).
Escreva a Lei de Kirchhoff das Tensões ao redor de cada malha.
- Fontes de tensão entram na equação como tensões.
- As tensões do resistor entram como $R \times i_{m a l h a}$ ‍.
- Se duas correntes de malha fluem em direções opostas em um resistor, a tensão entra como $R \times (i_{m a l h a 1} - i_{m a l h a 2})$ ‍. (O sinal torna-se positivo caso as correntes se movam na mesma direção.)
- Iguale a soma das tensões a zero. (Se estiver confuso, consulte o artigo sobre LKT.)
Resolva o sistema de equações resultante para todas as correntes de malha.
Para quaisquer correntes e tensões em um elemento do circuito, resolva usando a Lei de Ohm.

Se o circuito for não planar, ou se houver uma fonte de corrente compartilhada entre duas malhas, é melhor usar o Método das Correntes de Laço.

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