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Método das Tensões de Nó

O método das tensões de nó resolve circuitos com o mínimo número de equações de LKC. Escrito por Willy McAllister.

O Método da Tensão de Nó é um método organizado de análise de um circuito. O Método da Tensão de Nó se baseia na Lei de Kirchhoff das Correntes. Essa técnica está incorporada no simulador de circuitos,

SPICE

Qual é o desafio da análise de circuito? Resolver qualquer circuito significa criar e resolver

2 E

equações independentes, onde

E

é o número de elementos (componentes e fontes). Metade das equações vem das leis dos elementos individuais (como a Lei de Ohm), e a outra metade vem das conexões entre os elementos.

Não importando que procedimento usamos para resolver um circuito, não é possível contornar a necessidade de se resolver

2 E

equações. Mesmo para circuitos simples, gerenciar

2 E

equações pode dar trabalho. Mas existem formas de organizar a tarefa para torná-la muito eficiente. O Método da Tensão no Nó é um dos dois procedimentos muito eficientes que temos para resolver circuitos (o outro é o Método da Corrente na Malha).

O Método da Tensão no Nó não é uma ciência nova. Ele processa o mesmo volume de informação contida nas

2 E

equações, mas é bem inteligente e eficiente em como organizar essa informação.

Vamos demonstrar o Método das Tensões de Nó com o mesmo circuito que resolvemos usando as leis fundamentais:

Definição: tensão no nó

Precisamos definir um novo termo: tensão no nó. Até agora falamos da tensão no elemento, que aparece através dos terminais de um elemento simples (também chamada de tensão no ramo). Quando usamos o termo tensão no nó, estamos nos referindo à diferença de potencial entre dois nós de um circuito.

Nós selecionamos um dos nós em nosso circuito para ser o nó de referência. Todas as outras tensões em um nó são medidas com relação a esse único nó de referência. Se o nó

c

é atribuído como o nó de referência, nós estabelecemos duas tensões nos nós

a

b

O nó de referência é quase sempre chamado de nó terra, e ele recebe um símbolo de terra no esquema, como mostrado acima. O potencial do nó terra é definido como

0 V

. Os potenciais de todos os outros nós são medidos em relação ao terra.

Método da Tensão no Nó

O Método da Tensão no Nó divide a análise do circuito nesta sequência de passos:

Defina um nó de referência (terra).
Defina os nomes das tensões no nó para os nós remanescentes.
Resolva os nós mais fáceis primeiro, os que tem a fonte de tensão conectada ao nó de referência.
Escreva a Lei da Corrente de Kirchhoff para cada nó. Faça a Lei de Ohm de cabeça.
Resolva o sistema de equações resultantes para todas as tensões nos nós.
Resolva qualquer corrente que você queira usando a Lei de Ohm.

Defina um nó de referência e as tensões nos nós

Nós já fizemos isso acima, mas vamos fazer de novo. Nosso circuito exemplo tem três nós,

a

b

, e

c

, então

N = 3

. O nó

c

tem muitas conexões,

4

, e se conecta diretamente a ambas as fontes. Isso o torna um bom candidato a desempenhar o papel de nó de referência. O nó

c

foi marcado com o símbolo terra para todos saberem da nossa escolha para o nó de referência.

Nós também podemos definir

N - 1 = 2

tensões no nó no esquema, rotuladas em laranja como

v_{a}

v_{b}

(Há uma oportunidade óbvia aqui para simplificar os dois resistores paralelos,

6 Ω

com

5 Ω

. Mas nós não faremos isso, porque nós queremos estudar o procedimento do método de tensão do nó.)

Tensões no nó controlam a seta da corrente

Observe que algo está faltando no esquema. Não há rotulo laranja na tensão sobre o resistor de

20 Ω

. Quando precisarmos saber qual essa tensão, expressamos isso em termos das tensões nos nós.

v_{R} = v_{a} - v_{b}

v_{R} = v_{b} - v_{a}

Primeira dica importante da Tensão no Nó - controlar a seta da corrente

As tensões nos nós controlam a direção da seta de corrente!

Podemos expressar a tensão no resistor de

20 Ω

como a diferença entre as duas tensões nos nós. Isso pode ser feito de duas formas, com

v_{a}

v_{b}

na primeira posição na equação da diferença de tensão. O primeiro termo na equação é aquele que consideramos o mais positivo dos dois. Como usamos a convenção de sinais para componentes passivos, a escolha que fazemos para a polaridade da tensão determina a direção da seta da corrente. A seta da corrente aponta em direção ao sinal positivo na tensão do resistor.

Acima, à esquerda,

v_{a}

é a tensão mais positiva se comparada a

v_{b}

. A seta laranja representando

v_{R}

aponta na direção do nó

a

, e a seta de corrente aponta para o resistor da esquerda para a direita.

À direita,

v_{b}

é agora definida como a tensão mais positiva se comparada a

v_{a}

. A seta laranja representando

v_{R}

aponta em direção ao nó

b

, e a seta de corrente aponta para a extremidade positiva do resistor.

Vamos usar nossa nova habilidade imediatamente para controlar a direção da seta da corrente no primeiro termo da equação da LKC em seguida.

Resolva os nós fáceis

A tensão

v_{a}

é fácil de calcular. O nó

a

se conecta a uma fonte de tensão, a qual se conecta ao nó de referência

c

. Isso o torna um nó fácil. A tensão no nó

a

v_{a} = 140 V

Lei de Kirchhoff das Correntes no nó restante

Segunda habilidade importante da Tensão no Nó - rabisque no esquemático

A parte desafiadora da análise de circuito é obter os sinais corretos. Rascunhe no esquemático tudo o que quiser. Desenhar sinais de tensão e setas de corrente ajuda você a obter os sinais corretos na equação da LKC.

Terceira habilidade importante da Tensão no Nó - pense na Lei de Ohm ao escrever a LKC

Enquanto você escreve cada termo da equação da LKC, pense na Lei de Ohm e imediatamente escreva a corrente em função da tensão nos nós dividida pela resistência.

Agora escrevemos a LKC para o nó restante que não foi resolvido,

b

. A tensão no nó

v_{b}

é a variável independente.

A corrente (seta azul) fluindo em direçãoao nó

b

do resistor de

20 Ω

pode ser escrita como

+ \frac{(140 - v_{b})}{20}

A corrente nos resistores de

6 Ω

5 Ω

imediatamente vão para a equação como

- \frac{v_{b}}{6}

- \frac{v_{b}}{5}

Temos apenas um nó para considerar, o nó

b

. A LKC diz que a soma das correntes fluindo em direçãoao nó

b = 0

+ \frac{(140 - v_{b})}{20} - \frac{v_{b}}{6} - \frac{v_{b}}{5} + 18 = 0

Isso é muito legal. Sem muito esforço, temos uma equação com uma incógnita. Quando fizemos isso em um artigo anterior usando somente as leis fundamentais, tínhamos que gerenciar

10

equações com

10

incógnitas.

Ache as tensões nos nós

Nosso sistema de equações possui apenas uma equação. Vamos resolvê-la para encontrar a tensão no nó.

+ \frac{140}{20} - \frac{v_{b}}{20} - \frac{v_{b}}{6} - \frac{v_{b}}{5} = - 18

- \frac{v_{b}}{20} - \frac{v_{b}}{6} - \frac{v_{b}}{5} = - 18 - 7

(- \frac{3}{60} - \frac{10}{60} - \frac{12}{60}) \cdot v_{b} = - 25

v_{b} = - 25 \cdot (- \frac{60}{25})

v_{b} = 60 V

Resolva para as correntes desconhecidas usando a Lei de Ohm

Agora temos ambas as tensões nos nós, e podemos resolver todas as correntes desconhecidas usando a Lei de Ohm.

i_{20 Ω} = \frac{(v_{a} - v_{b})}{20} = \frac{(140 - 60)}{20} = 4 A

i_{6 Ω} = \frac{v_{b}}{6} = \frac{60}{6} = 10 A

i_{5 Ω} = \frac{v_{b}}{5} = \frac{60}{5} = 12 A

Feito! O circuito está analisado.

As etapas do Método da Tensão no Nó

Defina um nó de referência (terra).
Defina os nomes das tensões no nó para os nós remanescentes.
Resolva os nós mais fáceis primeiro, os que tem a fonte de tensão conectada ao nó de referência.
Escreva a Lei da Corrente de Kirchhoff para cada nó. Faça a Lei de Ohm de cabeça.
Resolva o sistema de equações resultantes para todas as tensões nos nós.
Resolva qualquer corrente que você queira usando a Lei de Ohm.

Reflexão: O Método da Tensão no Nó é mágico?

O Método da Tensão no Nó parece dar muito menos trabalho do que criar, gerenciar e resolver um sistema de

2 E

equações independentes com

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tensões e correntes desconhecidas. Seria o Método da Tensão do Nó mágico?

Não, não há mágica. O Método da Tensão no Nó é simplesmente uma maneira inteligente de se organizar para operar as mesmas

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equações. As inovações principais são:

Nos convencemos que podemos fazer a Lei de Ohm de cabeça. Fizemos isso ao escrever as equações da LKC. E ao encerrarmos, usamos a Lei de Ohm novamente para encontrar as correntes nos elementos, o que não pareceu ser uma tarefa difícil. Nos conscientizarmos de que a Lei de Ohm é simples faz metade das equações independentes parecer não ser um problema.
Usar o conceito de tensão no nó em vez de tensão no elemento é uma jogada brilhante que basicamente define as equações da LKT no esquema, então não precisamos escrever equações da LKT.
Reconhecemos que algumas tensões no nó têm soluções triviais, as que os conectam a uma fonte de tensão cujo outro terminal é a terra. Isso elimina uma ou duas equações.
O que resta são algumas equações da LKC em nós não-triviais.

Como o Método da Tensão no Nó faz "sumirem" as equações da LKT?

Com o Método das Tensões de Nó, não nos preocupamos em escrever as equações da LKT. Mesmo assim vamos escrevê-las e ver por quê.

Nosso circuito possui três malhas, na esquerda, no meio, e na direita da 'janela' do esquema.

LKT para a malha esquerda:

+ 140 - (140 - v_{b}) - v_{b} = 0

Essa equação da malha esquerda realmente ilustra a questão das tensões no nó. Expressamos a tensão no resistor de

20 Ω

em função de tensões no nó em vez da tensão em seu próprio elemento. Com essa notação, a equação acaba em

0 = 0

LKT para a malha do meio:

+ v_{b} - v_{b} = 0

LKT para a malha direita:

+ v_{b} - v_{b} = 0

Todas as três equações das malhas se reduzem a

0 = 0

e basicamente derrubam o procedimento. Isso é o que o seu livro texto quer dizer se você ler algo como "com o Método da Tensão no Nó, as equações da LKT são escritas implicitamente no esquema."

Exemplo guiado

Resolva este circuito usando o método das tensões de nó.

Se você quer trabalhar nesse problema sozinho, vá em frente! Copie esse esquema e trabalhe através dos passos do Método das Tensões de Nó listados acima. Mesmo que você não pretenda fazer todos os cálculos, sugiro que você faça as etapas que descrevem a LKC. Isso realmente vai ajudar a entender o Método das Tensões de Nó.

Defina um nó de referência.

Defina o nome da tensão no nó dos nós restantes.

Resolva os nós fáceis primeiro.

Escreva a Lei de Kirchhoff das Correntes para cada nó. Faça a Lei de Ohm de cabeça.

Antes de escrever a LKC, é uma boa prática rabiscar notas no esquema para estabelecer a direção das setas de corrente. Isso ajuda a obter o sinal e organizar os termos de tensão.

Note como a seta de corrente aponta em direções diferentes para o resistor de

10 Ω

, dependendo de para qual nó eu estou escrevendo a LKC. Isso é ok. As setas estão lá para me ajudar a escrever a expressão de tensão adequada.

Nó

b

+ \frac{v_{a} - v_{b}}{25} - \frac{v_{b}}{50} + \frac{v_{c} - v_{b}}{10} = 0

Nó

c

+ \frac{v_{a} - v_{c}}{100} + \frac{v_{b} - v_{c}}{10} - \frac{v_{c}}{25} = 0

Resolva o sistema de equações resultantes para todas as tensões dos nós.

Eu vou achar as duas tensões do nó desconhecidas,

v_{b}

v_{c}

, usando eliminação por multiplicação e soma.

Primeiramente, arrume para reunir os termos semelhantes juntos, e mova os termos constantes para o lado direito,

Nó b

- \frac{v_{b}}{25} - \frac{v_{b}}{50} - \frac{v_{b}}{10} + \frac{v_{c}}{10} = - \frac{v_{a}}{25}

Nó c

+ \frac{v_{b}}{10} - \frac{v_{c}}{100} - \frac{v_{c}}{10} - \frac{v_{c}}{25} = - \frac{v_{a}}{100}

Simplifique para obter um sistema de duas equações em duas incógnitas,

Nó b

- \frac{8}{50} v_{b} + \frac{1}{10} v_{c} = - \frac{75}{25} = - 3

Nó c

+ \frac{1}{10} v_{b} - \frac{15}{100} v_{c} = - \frac{75}{100} = - \frac{3}{4}

Agora elimine

v_{c}

: Multiplique a primeira equação por

\frac{15}{10}

e some a outra equação.

Nó b

\frac{15}{10} \times [- \frac{8}{50} v_{b} + \frac{1}{10} v_{c} = - 3]

Nó c

+ [+ \frac{1}{10} v_{b} - \frac{15}{100} v_{c} = - \frac{3}{4}]

Multiplique, cancele os termos, e adicione as equações,

Nó b

[- \frac{15 \cdot 8}{500} v_{b} + \frac{15}{100} v_{c} = - \frac{45}{10}]

Nó c

+ [+ \frac{1}{10} v_{b} - \frac{15}{100} v_{c} = - \frac{3}{4}]

\begin{aligned} Sum: (\frac{- 15 \cdot 8}{500} + \frac{1}{10}) v_{b} & = - \frac{45}{10} - \frac{3}{4} \\ \frac{- 120 + 50}{500} v_{b} & = - \frac{90}{20} - \frac{15}{20} \\ - \frac{70}{500} v_{b} & = - \frac{105}{20} \\ v_{b} & = - \frac{105}{20} \cdot - \frac{500}{70} \\ v_{b} & = + 37, 5 V \end{aligned}

Agora substitua

v_{b}

em qualquer das equações originais para achar

v_{c}

. Eu vou usar a equação para o nó

c

$\begin{aligned} + \frac{1}{10} v_{b} - \frac{15}{100} v_{c} & = - \frac{3}{4} \\ + \frac{1}{10} 37, 5 - \frac{15}{100} v_{c} & = - \frac{3}{4} \\ - \frac{15}{100} v_{c} & = - 0, 75 - 3, 75 \\ v_{c} & = - 4, 5 \cdot - \frac{100}{15} \\ v_{c} & = + 30 V \end{aligned}$ ‍

Resolva para qualquer corrente que você queira saber usando a Lei de Ohm.

i_{a b 25 Ω} = \frac{75 - 37, 5}{25} = 1, 5 A

, com a seta de corrente apontando para a direita.

i_{b g 50 Ω} = \frac{37, 5}{50} = 0, 75 A

, com a seta da corrente apontando para baixo.

i_{b g 50 Ω} = \frac{37, 5}{50} = 0, 75 A

, com a seta da corrente apontando para a direita.

i_{a c 100 Ω} = \frac{75 - 30}{100} = 0, 45 A

, com a seta da corrente apontando para a direita.

i_{c g 25 Ω} = \frac{30}{25} = 1, 2 A

, com a seta da corrente apontando para baixo.

E como bônus, a corrente fornecida pela fonte de tensão é,

i_{v} = i_{100 Ω} + i_{a b 25 Ω} = 0, 45 A + 1, 5 A = 1, 95 A

O circuito resolvido parece com isso,

Uma variante - fonte de tensão flutuante

Às vezes você encontra um circuito onde a fonte de tensão não tem nenhum dos seus terminais conectado ao nó terra. Dizemos que a fonte de tensão é flutuante. Uma fonte flutuante é um problema para o Método da Tensão no Nó, mas não é um desafio muito grande.

Neste circuito, a bateria

V_{2}

está flutuando. Vamos usar o Método da Tensão no Nó e ver o que acontece.

O nó de referência foi selecionado e marcado com o símbolo terra.
Os outros três nós foram nomeados e definidas as tensões nos nós nós, $v_{a}$ ‍, $v_{b}$ ‍ e $v_{c}$ ‍.
O primeiro passo da análise é resolver o nó mais fácil, $v_{a}$ ‍. Uma vez que esse nó é conectado à fonte de tensão que vai para a terra, nós imediatamente sabemos que $v_{a} = V_{1}$ ‍. Um nó a menos, mais dois pra terminar.

Em seguida, vamos escrever a equação da LKC para o nó

b

i_{R 2} + i_{R_{3}} + i_{V_{2}} = 0

\frac{(v_{a} - v_{b})}{R 2} - \frac{v_{b}}{R 3} + i_{V_{2}} ? = 0

O que devemos colocar para a corrente na bateria flutuante,

i_{V 2}

? A equação que define a bateria não fala de correntes. A equação que a define é

v = V_{2}

, e não há nenhum termo

i

envolvido. As baterias não nos dizem qual a corrente. Isso depende do resto do circuito. Então o que escrevemos para esse termo na equação LKT se não sabemos o

i

na bateria?

Neste ponto fugimos do roteiro padrão para o Método da Tensão no Nó, e apelamos a nossa própria astúcia. É bom fazer isso. Lembre-se que o roteiro da Tensão no Nó não é nada mais que um modo eficiente de criar e resolver equações simultâneas. A bateria flutuante está nos dando um pouco de incômodo, mas não esquecemos que o objetivo é criar um conjunto de equações independentes.

Olhando para o circuito, podemos fazer duas observações,

A tensão no nó $c$ ‍ tem uma relação estreita com a tensão no nó $b$ ‍. Ou seja, $v_{c} = v_{b} + V_{2}$ ‍. Podemos adicionar isso ao nosso sistema equações, e isso compensa não sabermos a corrente na bateria $V_{2}$ ‍.
Vemos também que a corrente na bateria $V_{2}$ ‍ é a mesma corrente no resistor $R 1$ ‍.

Podemos expressar a corrente na bateria no roteiro da Tensão no Nó como

\frac{V_{1} - v_{c}}{R 1}

Melhor ainda, podemos escrever a corrente na bateria em função de

v_{b}

como

\frac{V_{1} - (v_{b} + V_{2})}{R 1}

Agora podemos completar a equação da LKC no nó

b

\frac{(V_{1} - v_{b})}{R 2} - \frac{v_{b}}{R 3} + \frac{V_{1} - (v_{b} + V_{2})}{R 1} = 0

Essa equação é um pouco mais complicada, mas ainda é uma equação que dá pra resolver e que tem uma incógnita,

v_{b}

Uma vez que resolvemos para

v_{b}

, usamos uma equação extra para imediatamente obter

v_{c}

v_{c} = v_{b} + V_{2}

Feito! Temos as três tensões no nó. Se você quiser encontrar as correntes, prossiga com a Lei de Ohm como fizemos mais cedo.

A fonte de tensão flutuante é uma favorita dos professores nas provas, para ver como você responde a uma configuração de circuito inesperada. Passamos pela dificuldade observando e lembrando que é possível adicionar uma equação extra ao sistema se for preciso.

Super Nó

Usamos a relação estreita entre os dois nós na bateria flutuante para gerar um termo para colocar na equação da LKT, mais uma equação extra. Alguns textos chamam isso um super nó. Na discussão anterior, podemos ter usado essa palavra, mas só recorremos à nossa criatividade para trabalhar ao longo do quebra - cabeça.

Resumo do Método da Tensão no Nó

O Método da Tensão no Nó é um dos dois métodos bem organizados para resolver um circuito. Essa técnica é incorporada dentro do simulador de circuitos público

SPICE

. A sequência de passos pode ser resumida como:

Defina um nó de referência (terra).
Defina os nomes das tensões no nó para os nós remanescentes.
Resolva os nós mais fáceis primeiro, os que tem a fonte de tensão conectada ao nó de referência.
Escreva a Lei da Corrente de Kirchhoff para cada nó. Faça a Lei de Ohm de cabeça.
Resolva o sistema de equações resultantes para todas as tensões nos nós.
Resolva qualquer corrente que você queira usando a Lei de Ohm.

Se o circuito inclui uma fonte flutuante, adicione equações extras para compensar variáveis de corrente ou tensão ausentes.

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Tiago Félix
Publicado há há 10 meses. Link direto para a postagem “Boa tarde, até agora tenh...” de Tiago Félix
Boa tarde, até agora tenho percebido muito bem as matérias apesar de não ter qualquer conhecimento anterior mas confesso que estou com muita dificuldade em perceber a aplicação das LKT e LKC. Nesta parte alguém me consegue explicar o porque de se multiplicar a primeira equação por 15/10 ?
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Resposta
- bandeirajunior648
  Publicado há há um mês. Link direto para a postagem “Para poder somar essa nov...” de bandeirajunior648
  Para poder somar essa nova equação com a segunda equação abaixo, assim o termo Vc desaparece e podemos encontrar Vb
  Botão para a página de cadastro
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